斐波那契数列的通项公式是什么，及推导过程

Question

如题所述

Answer 1

方法二：待定系数法构造等比数列1（初等代数解法）
设常数r，s
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。
则r+s=1， -rs=1。
n≥3时，有。
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]。
F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]。
……
F⑶-r*F⑵=s*[F⑵-r*F⑴]。
联立以上n-2个式子，得：
F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F⑵-r*F⑴]。
∵s=1-r，F⑴=F⑵=1。
上式可化简得：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1）。
那么：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1）。
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2）。
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3）。
……
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F⑴。
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1）。
（这是一个以s^(n-1）为首项、以r^(n-1）为末项、r/s为公比的等比数列的各项的和）。
=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s）。
=(s^n - r^n)/(s-r）。
r+s=1， -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2，r=(1-√5)/2。
则F(n)=（√5/5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。
方法三：待定系数法构造等比数列2（初等代数解法）
已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3），求数列{an}的通项公式。
解 ：设an-αa(n-1)=β（a(n-1)-αa(n-2））。
得α+β=1。
αβ=-1。
构造方程x^2-x-1=0，解得α=(1-√5)/2，β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2，β=(1-√5)/2。
所以。
an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)`````````1。
an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)`````````2。
由式1，式2，可得。
an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)``````````````3。
an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)``````````````4。
将式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2，化简得an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。
方法四：母函数法。
对于斐波那契数列{a(n)}，有a(1)=a(2)=1,a(n)=a(n-1)+a(n-2)(n>2时)
令S(x)=a(1)x+a(2)x^2+……+a(n)x^n+……。
那么有S(x)*(1-x-x^2)=a(1)x+[a(2)-a(1)]x^2+……+[a(n)-a(n-1)-a(n-2)]x^n+……=x
.因此S(x)=x/(1-x-x^2).
不难证明1-x-x^2=-[x+(1+√5)/2][x+(1-√5)/2]=[1-(1-√5)/2*x][1-(1+√5)/2*x].
因此S(x)=(1/√5)*{x/[1-(1+√5)/2*x]-x/[1-(1-√5)/2*x]}.
再利用展开式1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+……+x^n+……
于是就可以得S(x)=b(1)x+b(2)x^2+……+b(n)x^n+……
其中b(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}.
因此可以得到a(n)=b(n)==(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}