求助:由圆柱面x²+y²=a²,x²+z²=a²(a>0)所围成的空间区域的体积

Question

如题所述

Answer 1

根据对称性，在第一卦限求解。分别画出两个圆柱，他们的公共部分即为所求，然后二重积分

Answer 2

作变换x=rcosu,y=rsinu,则所求体积
V=2∫<0,2π>du∫<0,a>rdr∫<0,√[a^2-r^2(cosu)^2]>dz
=2∫<0,2π>du∫<0,a>r√[a^2-r^2(cosu)^2]dr
=∫<0,2π>du/(cosu)^2*(-2/3){[a^2-a^2(cosu)^2]^(3/2)-a^3}
=(2/3)a^3∫<0,2π>[1-|sinu|^3]du/(cosu)^2
=(2/3)a^3{∫<0,π>[1-(sinu)^3]du/(cosu)^2+∫<π,2π>[1+（sinu)^3]du/(cosu)^2}
=(2/3)a^3{∫<0,π>[1+sinu+(sinu)^2]du/(1+sinu)+∫<π,2π>[1-sinu+（sinu)^2]du/(1-sinu)}
=(2/3)a^3{<0,π>[1/(1+sinu)+sinu]du+∫<π，2π>[1/(1-sinu)-sinu]du}
=(2/3)a^3[2+2+2+2]
=16a^3/3.