隐函数的导数怎么求?

Question

如题所述

Answer 1

1. 隐函数是二元二次隐函数，举例说明x^2+4y^2=4。
2. 对方程两边同时求导得到：2x+8yy'=0。
3. 解得y'=-x/4y。
4. 对y'再次求导得到：y''=-(4y-x*4y')/(4y)^2=(xy'-y)/4y^2。
5. 代入y'的结果，得到y''=-(x^2+4y^2)/16y^3=-1/4y^3。
6. 所以：d^2y/dx^2=-1/4y^3。
7. 二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。
8. 一般的，函数y=f（x）的导数y‘=f’（x）仍然是x的函数，则y’=f‘（x）的导数叫做函数y=f（x）的二阶导数。
9. 在图形上，它主要表现函数的凹凸性。
10. 如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。
11. 函数就是指：在某一变化过程中，两个变量x、y，对于某一范围内的x的每一个值，y都有确定的值和它对应，y就是x的函数。
12. 这种关系一般用y=f(x)即显函数来表示。
13. F(x,y)=0即隐函数是相对于显函数来说的。
14. 如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)（即二阶导数）>0恒成立，那么对于区间I上的任意x,y，总有：f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2]。
15. 如果总有f''(x)<0成立，那么上缺尺式的不等号反向。
16. 如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)（即二阶导数）>0恒成立，那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。
17. 对于一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。
18. 在方程左右两边都对x进行求导，由于y其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有 y' 的一个方程，然后化简得到 y' 的表达式。
19. 隐函数导数的求解一般可以采用以下方法：
方法①：先把隐函数转化成显函数，再利用显函数求导的方法求导；
方法②：隐函数左右两边对x求导（但要注意把y看作x的函数）；
方法③：利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导，再通过移项求得的值；
方法④：把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。
20. 举个例子，若欲求z = f(x,y)的导数，那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z) = 0的形式，然后通过（式中F'y,F'x分别表示y和x对z的偏导数）来求解。