三角函数：求y=2√3sinxcosx-2sin^2 x的周期，最大最小值及单调区间。

Question

详细过程（最好别跳步骤）

Answer 1

sin(2α)=2sinα·cosα
2sin^2(α)=1-cos(2α)
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

y=2√3sinxcosx-2sin^2 x
=√3sin(2x)-1+cos(2x)
=2sin60°sin(2x)+2cos60°cos(2x)-1
=2cos(2x-60°)-1

所以，它的周期就是2π/2=π。

最大值是1*2-1=2-1=1，最小值是-1*2-1=-3.

函数y＝cosX的单调递增区间为X∈[2k∏,2k∏+∏],k∈Z
所以2x-60°=2x-π/3
2k∏≤2x-π/3≤2k∏+∏
k∏+π/6≤x≤k∏+2∏/3
所以原函数的单调递增区间为X∈[k∏+π/6,k∏+2∏/3],k∈Z
单调递减区间是X∈[k∏-π/3,k∏+∏/6],k∈Z

Answer 2

y=2√3sinxcosx-2sin²x
=√3sin(2x)+1-2sin²x-1
=√3sin(2x)+cos(2x)-1
=2[√3sin(2x)/2+cos(2x)/2]-1
=2[sin(2x)cos(п/6)+cos(2x)sin(п/6)]-1
=2sin(2x+п/6)-1

T=2п/2=п
最小正周期п

当x=kп+п/6，k∈Z时，y有最大值1；当x=kп-п/3，k∈Z时，y有最小值-3