奥数，抢积分！！保底20

Question

1、1**2、**75、22*9、6**7、**50、1*26这六个四位数中，*代表不能辨认的数码，其中有平方数，试求出这些平方数。
2、已知集合A={a、b、c、d、f}，B={d、e、f}，C={d、g、f 、h}，求 ， 。
4、有没有整数x、y存在，使得x2＋y2＝2007成立呢？
5、在算式A×（B+C）=110+C中，A、B、C是三个互不相等的质数，那么求B的值。
6、书人小学五年级有59人是1998年出生的，其中至少有几个人的生日在同一月份，为什么？
9、 甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛荣获学校的前四名。其得分情况如下：①丁比丙得分高；②甲、乙两人得分之和恰等于丙、丁两人得分之和；③乙、丙两人得分之和比甲、乙两人得分之和多。请确定他们的名次。

10、 有三顶红帽子，两顶白帽子，现将其中的三顶给排成一列的三人每人戴一顶，每人却只能看到自己前面的人的帽子，而看不到自己和自己后面人的帽子，同时三人也都不知道剩下的两顶帽子的颜色（但却知道他们三人的帽子是三顶红帽子，两顶白帽子中取的）。
先问站在最后边的人道：“你知道你戴的帽子是什么颜色的吗？”最后边的人回答说：“不知道。”接着让中间的人说出自己戴的帽子的颜色，中间的人回答说：“不知道”。听了他们两 人的回答后，你能知道站在最前面的人戴的是什么颜色的帽子吗？

11、图中二、三、四号位为前排、一、五、六号位为后排，六名排球队员分别穿1，2，3，4，5，6号球衣，每个队员的站位号与他们的球衣号都不相同。一、四号位站主攻；二、五号位站二传；三、六号位站副攻。已知：
⑴、1号6号不在后排； ⑵、2号3号不是二传；⑶、3号4号不同排；
⑷、5号6号不是副攻。请判断每个队员的站位。

12、某班同学参加语文、数学、英语三科调研考试，得优秀的人数如下：语文20人，数学21人，英语24人，语文和数学两科都得优秀的有7人，语文和英语两科都得优秀的有10人，数学和英语两科都得优秀的有8人，三科都没有得优秀的有10人，问该班至多有多少人？

13、一副扑克牌共54张，其中1~13各有4张，还有2张大小王，(1)至少摸得几张牌，才能保证其中有两张点数相同的牌? (2)至少摸得几张牌，才能保证其中有三张黑桃花色牌?
要过程

Answer 1

1、1**2、**75、22*9、6**7、**50、1*26这六个四位数中，*代表不能辨认的数码，其中有平方数，试求出这些平方数。
47*47=2209
2、求481×231－651×245除以11的余数。
8×0－2×3 -----5
3、已知集合A={a、b、c、d、f}，B={d、e、f}，C={d、g、f 、h}，求 ， 。
{a、b、c、d、e、f、g、h}
{d、f}
4、有没有整数x、y存在，使得x2＋y2＝2007成立呢？
X mod4――――0、1、2、3―――――x2 mod4――――0、1
Ymod4――――0、1、2、3―――――y2mod4――――0、1
（x2 ＋y2）mod4―――――0、1、2
2007 mod4―――――3,不成立
5、在算式A×（B+C）=110+C中，A、B、C是三个互不相等的质数，那么求B的值。
C为奇数时：110+C是奇数，B＋C必为奇数，因此C＝2
C为偶数时：c＝2，110+C=112是偶数，要求A或B为偶数，不成立
6、书人小学五年级有59人是1998年出生的，其中至少有几个人的生日在同一月份，为什么？
59/12＝4―――11
5人
7、在衣袋里有规格相同颜色不同的红、黑、白色的手套各两双，至少摸出几只手套能够保证其中有两双相同颜色的手套？至少摸出几只手套能够保证其中有一双白色的手套？
3+1+1+1=6只 2*2+2*2+2=10只
8、对于表1，每次使其中任意三个数同时加上或同时减去同一个数，能否经过若干次变换（各次加上或减去的数可以不同），使之变为表2？为什么？
表1的和mod3＝2＋2+2+1+1+1++2+1------0
表1的和mod3＝2
不可能
9、 甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛荣获学校的前四名。其得分情况如下：①丁比丙得分高；②甲、乙两人得分之和恰等于丙、丁两人得分之和；③乙、丙两人得分之和比甲、乙两人得分之和多。请确定他们的名次。
高至低依次为：乙、丁、丙、甲
10、 有三顶红帽子，两顶白帽子，现将其中的三顶给排成一列的三人每人戴一顶，每人却只能看到自己前面的人的帽子，而看不到自己和自己后面人的帽子，同时三人也都不知道剩下的两顶帽子的颜色（但却知道他们三人的帽子是三顶红帽子，两顶白帽子中取的）。
先问站在最后边的人道：“你知道你戴的帽子是什么颜色的吗？”最后边的人回答说：“不知道。”接着让中间的人说出自己戴的帽子的颜色，中间的人回答说：“不知道”。听了他们两 人的回答后，你能知道站在最前面的人戴的是什么颜色的帽子吗？
最后边的人回答说：“不知道。”―――前面为二红或一红一白
中间的人回答说：“不知道”―――前面是红
11、图中二、三、四号位为前排、一、五、六号位为后排，六名排球队员分别穿1，2，3，4，5，6号球衣，每个队员的站位号与他们的球衣号都不相同。一、四号位站主攻；二、五号位站二传；三、六号位站副攻。已知：
⑴、1号6号不在后排； ⑵、2号3号不是二传；⑶、3号4号不同排；
⑷、5号6号不是副攻。请判断每个队员的站位。
3 1 6 4 2 5
12、某班同学参加语文、数学、英语三科调研考试，得优秀的人数如下：语文20人，数学21人，英语24人，语文和数学两科都得优秀的有7人，语文和英语两科都得优秀的有10人，数学和英语两科都得优秀的有8人，三科都没有得优秀的有10人，问该班至多有多少人？
20+21+24-7-10-8+x+10，x max＝7
20+21+24-7-10-8+7+10=57
13、一副扑克牌共54张，其中1~13各有4张，还有2张大小王，(1)至少摸得几张牌，才能保证其中有两张点数相同的牌? (2)至少摸得几张牌，才能保证其中有三张黑桃花色牌?
(1) 13+2+1=16
(2) 2＋3×13＋3＝44

Answer 2

1、大小两桶油，重量比是7：3，如果从大桶取出12千克倒入小桶，则两桶油中的油正好相等。两桶油原来各有多少油？
12/2*10=60（千克）
7+3=10
60/10*7=42（千克）
60/10*3=18（千克）
答：大桶里有42千克油，
小桶里有18千克油。
2、一桶汽油，桶的重量是油的8%，倒出48千克后，油的重量相当于同的二分之一，原有油多少千克？
48/（1-8%*0.5）
=48/96%
=50（千克）
答：原有油50千克。
*=乘号
/=除号

为什么这样解呢？因为70是5和7的公倍数，且除以3余1。21是3和7的公倍数，且除以5余1。15是3和5的公倍数，且除以7余1。（任何一个一次同余式组，只要根据这个规律求出那几个关键数字，那么这个一次同余式组就不难解出了。）把70、21、15这三个数分别乘以它们的余数，再把三个积加起来是233，符合题意，但不是最小，而105又是3、5、7的最小公倍数，去掉105的倍数，剩下的差就是最小的一个答案。

用歌诀解题容易记忆，但有它的局限性，只能限于用3、5、7三个数去除，用其它的数去除就不行了。后来我国数学家又研究了这个问题，运用了像上面分析的方法那样进行解答。

例1：一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？

题中3、4、5三个数两两互质。

则〔4，5〕=20；〔3，5〕=15；〔3，4〕=12；〔3，4，5〕=60。

为了使20被3除余1，用20×2=40；

使15被4除余1，用15×3=45；

使12被5除余1，用12×3=36。

然后，40×1＋45×2＋36×4=274，

因为，274>60，所以，274－60×4=34，就是所求的数。

例2：一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是几？

题中3、7、8三个数两两互质。

则〔7，8〕=56；〔3，8〕=24；〔3，7〕=21；〔3，7，8〕=168。

为了使56被3除余1，用56×2=112；

使24被7除余1，用24×5=120。

使21被8除余1，用21×5=105；

然后，112×2＋120×4＋105×5=1229，

因为，1229>168，所以，1229－168×7=53，就是所求的数。

例3：一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小的自然数。

题中5、8、11三个数两两互质。

则〔8，11〕=88；〔5，11〕=55；〔5，8〕=40；〔5，8，11〕=440。

为了使88被5除余1，用88×2=176；

使55被8除余1，用55×7=385；

使40被11除余1，用40×8=320。

然后，176×4＋385×3＋320×2=2499，

因为，2499>440，所以，2499－440×5=299，就是所求的数。

例4：有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人？（幸福123老师问的题目）

题中9、7、5三个数两两互质。

则〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。

为了使35被9除余1，用35×8=280；

使45被7除余1，用45×5=225；

使63被5除余1，用63×2=126。

然后，280×5＋225×1＋126×2=1877，

因为，1877>315，所以，1877－315×5=302，就是所求的数。

例5：有一个年级的同学，每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5人一排多3人，问这个年级至少有多少人？（泽林老师的题目）

题中9、7、5三个数两两互质。

则〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。

为了使35被9除余1，用35×8=280；

使45被7除余1，用45×5=225；

使63被5除余1，用63×2=126。

然后，280×6＋225×2＋126×3=2508，

因为，2508>315，所以，2508－315×7=303，就是所求的数。

（例5与例4的除数相同，那么各个余数要乘的“数”也分别相同，所不同的就是最后两步。）

“中国剩余定理”简介：

我国古代数学名著《孙子算经》中，记载这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何。”用现在的话来说就是：“有一批物品，三个三个地数余二个，五个五个地数余三个，七个七个地数余二个，问这批物品最少有多少个。”这个问题的解题思路，被称为“孙子问题”、“鬼谷算”、“隔墙算”、“韩信点兵”等等。

那么，这个问题怎么解呢？明朝数学家程大位把这一解法编成四句歌诀：

三人同行七十（70）稀，

五树梅花廿一（21）枝，

七子团圆正月半（15），

除百零五（105）便得知。

歌诀中每一句话都是一步解法：第一句指除以3的余数用70去乘；第二句指除以5的余数用21去乘；第三句指除以7的余数用15去乘；第四句指上面乘得的三个积相加的和如超过105，就减去105的倍数，就得到答案了。即：

70×2＋21×3＋15×2－105×2=23

《孙子算经》的“物不知数”题虽然开创了一次同余式研究的先河，但由于题目比较简单，甚至用试猜的方法也能求得，所以尚没有上升到一套完整的计算程序和理论的高度。真正从完整的计算程序和理论上解决这个问题的，是南宋时期的数学家秦九韶。秦九韶于公元1247年写成的《数书九章》一书中提出了一个数学方法“大衍求一术”，系统地论述了一次同余式组解法的基本原理和一般程序。

从《孙子算经》到秦九韶《数书九章》对一次同余式问题的研究成果，在19世纪中期开始受到西方数学界的重视。1852年，英国传教士伟烈亚力向欧洲介绍了《孙子算经》的“物不知数”题和秦九韶的“大衍求一术”；1876年，德国人马蒂生指出，中国的这一解法与西方19世纪高斯《算术探究》中关于一次同余式组的解法完全一致。从此，中国古代数学的这一创造逐渐受到世界学者的瞩目，并在西方数学史著作中正式被称为“中国剩余定理”。

还有一些测试题

六年级奥数测试题

（每道题都要写出详细解答过程）

1. 三个数的和是555，这三个数分别能被3，5，7整除，而且商都相同，求这三个数。

2. 已知A是一个自然数，它是15的倍数，并且它的各个数位上的数字只有0和8两种，问A最小是几？

3. 把自然数依次排成以下数阵：

1，2，4，7，…

3，5，8，…

6，9，…

10，…

…

现规定横为行，纵为列。求

（1） 第10行第5列排的是哪一个数？

（2） 第5行第10列排的是哪一个数？

（3） 2004排在第几行第几列？

4. 三个质数的乘积恰好等于它们的和的11倍，求这三个质数。

5. 有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数。求这两个整数。

6. 在800米的环岛上，每隔50米插一面彩旗，后来又增加了一些彩旗，就把彩旗的间隔缩短了，起点的彩旗不动，重新插完后发现，一共有4根彩旗没动，问现在的彩旗间隔多少米？

7. 13511，13903，14589被自然数m除所得余数相同，问m最大值是多少？

8. 求1到200的自然数中不能被2、3、5中任何一个数整除的数有多少个？

9. 有一列数：1，999，998，1，997，996，1，…从第3个数起，每一个数都是它前面2个数中大数减小数的差。求从第1个数起到999个数这999个数之和。

10. 从200到1800的自然数中有奇数个约数的数有多少个？

11. 在下图中，有左右两个一样的等腰直角三角形，其面积都是100，分别沿着图中的虚线剪下两个小正方形，请你求一下两个正方形的面积各是多少，并比较大小。

12. 甲说：“我和乙、丙共有100元。”乙说：“如果甲的钱是现有的6倍，我的钱是现有的1/3，丙的钱不变，我们三人仍有钱100元。”丙说：“我的钱连30元都不到。”问三人原来各有多少钱？

13. B两人要到沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走20千米，已知每人最多可携带一个人24天的食物和水，如果不准将部分食物存放于途中，问其中一个人最远可以深入沙漠多少千米（要求最后两人返回出发点）？如果可以将部分食物存放于途中以备返回时取用呢？

14. 一笔奖金分一等奖、二等奖和三等奖。每个一等奖的奖金是每个二等奖金的2倍，每个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的2倍。如果评一、二、三等奖各两人，那么每个一等奖的奖金是308元；如果评一个一等奖，两个二等奖，三个三等奖，那么一等奖的奖金是多少元？

15. 把1296分为甲、乙、丙、丁四个数，如果甲数加上2，乙数减去2，丙数乘以2，丁数除以2，则四个数相等。求这四个数各是多少？
你能做多少就做多少

Answer 3

1、1**2、**75、22*9、6**7、**50、1*26这六个四位数中，*代表不能辨认的数码，其中有平方数，试求出这些平方数。

47*47=2209

2、求481×231－651×245除以11的余数。

8×0－2×3 -----5

3、已知集合A={a、b、c、d、f}，B={d、e、f}，C={d、g、f 、h}，求 ， 。

{a、b、c、d、e、f、g、h}

{d、f}

4、有没有整数x、y存在，使得x2＋y2＝2007成立呢？

X mod4――――0、1、2、3―――――x2 mod4――――0、1

Ymod4――――0、1、2、3―――――y2mod4――――0、1

（x2 ＋y2）mod4―――――0、1、2

2007 mod4―――――3,不成立

5、在算式A×（B+C）=110+C中，A、B、C是三个互不相等的质数，那么求B的值。

C为奇数时：110+C是奇数，B＋C必为奇数，因此C＝2

C为偶数时：c＝2，110+C=112是偶数，要求A或B为偶数，不成立

6、书人小学五年级有59人是1998年出生的，其中至少有几个人的生日在同一月份，为什么？

59/12＝4―――11

5人

7、在衣袋里有规格相同颜色不同的红、黑、白色的手套各两双，至少摸出几只手套能够保证其中有两双相同颜色的手套？至少摸出几只手套能够保证其中有一双白色的手套？

3+1+1+1=6只 2*2+2*2+2=10只

8、对于表1，每次使其中任意三个数同时加上或同时减去同一个数，能否经过若干次变换（各次加上或减去的数可以不同），使之变为表2？为什么？

表1的和mod3＝2＋2+2+1+1+1++2+1------0

表1的和mod3＝2

不可能

9、 甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛荣获学校的前四名。其得分情况如下：①丁比丙得分高；②甲、乙两人得分之和恰等于丙、丁两人得分之和；③乙、丙两人得分之和比甲、乙两人得分之和多。请确定他们的名次。

高至低依次为：乙、丁、丙、甲

10、 有三顶红帽子，两顶白帽子，现将其中的三顶给排成一列的三人每人戴一顶，每人却只能看到自己前面的人的帽子，而看不到自己和自己后面人的帽子，同时三人也都不知道剩下的两顶帽子的颜色（但却知道他们三人的帽子是三顶红帽子，两顶白帽子中取的）。

先问站在最后边的人道：“你知道你戴的帽子是什么颜色的吗？”最后边的人回答说：“不知道。”接着让中间的人说出自己戴的帽子的颜色，中间的人回答说：“不知道”。听了他们两 人的回答后，你能知道站在最前面的人戴的是什么颜色的帽子吗？

最后边的人回答说：“不知道。”―――前面为二红或一红一白

中间的人回答说：“不知道”―――前面是红

11、图中二、三、四号位为前排、一、五、六号位为后排，六名排球队员分别穿1，2，3，4，5，6号球衣，每个队员的站位号与他们的球衣号都不相同。一、四号位站主攻；二、五号位站二传；三、六号位站副攻。已知：

⑴、1号6号不在后排； ⑵、2号3号不是二传；⑶、3号4号不同排；

⑷、5号6号不是副攻。请判断每个队员的站位。

3 1 6

4 2 5

12、某班同学参加语文、数学、英语三科调研考试，得优秀的人数如下：语文20人，数学21人，英语24人，语文和数学两科都得优秀的有7人，语文和英语两科都得优秀的有10人，数学和英语两科都得优秀的有8人，三科都没有得优秀的有10人，问该班至多有多少人？

20+21+24-7-10-8+x+10，x max＝7

20+21+24-7-10-8+7+10=57

13、一副扑克牌共54张，其中1~13各有4张，还有2张大小王，(1)至少摸得几张牌，才能保证其中有两张点数相同的牌? (2)至少摸得几张牌，才能保证其中有三张黑桃花色牌?

(1) 13+2+1=16

(2) 2＋3×13＋3＝44

14、在1至300的自然数中，既不能被2或3整除，也不能被5整除的数共有多少个？

300/2=150 300/3=100 300/5=60 300/(2*3)=50 300/(2*5)=30 300/(3*5)=20

300/(2*3*5)=10

150+100+60-50-30-20+10=220

300-220=80

*15、某班有团员23人，这个班里男生共20人，问这个班女生团员比男生非团员多多少人？

男20-------团员y、非团员20-y

女―――――团员23-y

(23-y)-(20-y)=3人

*16、能否找到自然数a和b，使得a2=2002+b2.

a2-b2=2002 (a+b)(a-b)=2002 (a+b)与(a-b)的奇偶性相同，如果成立，(a+b)与(a-b)必定都为偶数

2002=2×1001=2×7×11×13 不可能分解成两个偶数，所以找不到。

所有答案都在这里

Answer 4

1、1**2、**75、22*9、6**7、**50、1*26这六个四位数中，*代表不能辨认的数码，其中有平方数，试求出这些平方数。
47*47=2209
2、求481×231－651×245除以11的余数。
8×0－2×3 -----5
3、已知集合A={a、b、c、d、f}，B={d、e、f}，C={d、g、f 、h}，求 ， 。
{a、b、c、d、e、f、g、h}
{d、f}
4、有没有整数x、y存在，使得x2＋y2＝2007成立呢？
X mod4――――0、1、2、3―――――x2 mod4――――0、1
Ymod4――――0、1、2、3―――――y2mod4――――0、1
（x2 ＋y2）mod4―――――0、1、2
2007 mod4―――――3,不成立
5、在算式A×（B+C）=110+C中，A、B、C是三个互不相等的质数，那么求B的值。
C为奇数时：110+C是奇数，B＋C必为奇数，因此C＝2
C为偶数时：c＝2，110+C=112是偶数，要求A或B为偶数，不成立
6、书人小学五年级有59人是1998年出生的，其中至少有几个人的生日在同一月份，为什么？
59/12＝4―――11
5人
7、在衣袋里有规格相同颜色不同的红、黑、白色的手套各两双，至少摸出几只手套能够保证其中有两双相同颜色的手套？至少摸出几只手套能够保证其中有一双白色的手套？
3+1+1+1=6只 2*2+2*2+2=10只
8、对于表1，每次使其中任意三个数同时加上或同时减去同一个数，能否经过若干次变换（各次加上或减去的数可以不同），使之变为表2？为什么？
表1的和mod3＝2＋2+2+1+1+1++2+1------0
表1的和mod3＝2
不可能
9、 甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛荣获学校的前四名。其得分情况如下：①丁比丙得分高；②甲、乙两人得分之和恰等于丙、丁两人得分之和；③乙、丙两人得分之和比甲、乙两人得分之和多。请确定他们的名次。
高至低依次为：乙、丁、丙、甲
10、 有三顶红帽子，两顶白帽子，现将其中的三顶给排成一列的三人每人戴一顶，每人却只能看到自己前面的人的帽子，而看不到自己和自己后面人的帽子，同时三人也都不知道剩下的两顶帽子的颜色（但却知道他们三人的帽子是三顶红帽子，两顶白帽子中取的）。
先问站在最后边的人道：“你知道你戴的帽子是什么颜色的吗？”最后边的人回答说：“不知道。”接着让中间的人说出自己戴的帽子的颜色，中间的人回答说：“不知道”。听了他们两 人的回答后，你能知道站在最前面的人戴的是什么颜色的帽子吗？
最后边的人回答说：“不知道。”―――前面为二红或一红一白
中间的人回答说：“不知道”―――前面是红
11、图中二、三、四号位为前排、一、五、六号位为后排，六名排球队员分别穿1，2，3，4，5，6号球衣，每个队员的站位号与他们的球衣号都不相同。一、四号位站主攻；二、五号位站二传；三、六号位站副攻。已知：
⑴、1号6号不在后排； ⑵、2号3号不是二传；⑶、3号4号不同排；
⑷、5号6号不是副攻。请判断每个队员的站位。
3 1 6 4 2 5
12、某班同学参加语文、数学、英语三科调研考试，得优秀的人数如下：语文20人，数学21人，英语24人，语文和数学两科都得优秀的有7人，语文和英语两科都得优秀的有10人，数学和英语两科都得优秀的有8人，三科都没有得优秀的有10人，问该班至多有多少人？
20+21+24-7-10-8+x+10，x max＝7
20+21+24-7-10-8+7+10=57
13、一副扑克牌共54张，其中1~13各有4张，还有2张大小王，(1)至少摸得几张牌，才能保证其中有两张点数相同的牌? (2)至少摸得几张牌，才能保证其中有三张黑桃花色牌?
(1) 13+2+1=16
(2) 2＋3×13＋3＝44

参考资料：ss

Answer 5

1**2、**75、22*9、6**7、**50、1*26这六个四位数中，*代表不能辨认的数码，其中有平方数，试求出这些平方数。