第1个回答 2009-05-08
抑制房地产泡沫问题的模型设计
摘要: 本文讨论了影响房地产价格的主要因素，找出了价格和其主要因素之间近似成线性关系，从而建立表示房地产价格的数学模型——多元线性回归模型，并对模型进行了全方面的论述，得出求解其中各个参数的方法，并最终求出房地产价格。建模过程中，首先用科学分析的方法，确定主要因素并对其作数学抽象，再针对各因素综合运用多种数学方法进行分析求解。第一，用概率论与数理统计的方法找出价格和各个因素之间的近似线性关系，确定模型；第二，用最小二乘法求解模型中的参数；第三，用回归分析确定模型精度及检验，从而得出一个完整的数学模型；第四，通过该模型深入分析了影响房地产价格主要因素，提出了一些政策建议，把高的开发成本降下来，同时调整供给结构。第五，根据模型及建议进行合理的预测，最后分析模型的优缺点并提出了改进方向。
一 问题重述
所谓房地产泡沫直的是商品房售价远远超过起实际的价值。近几年来，我国各大城市房价出现了普遍的持续上涨、高居不下的情况。房价的上涨使生活成本大幅度增加，导致许多低收入人群买房难，目前我国城镇居民的人均居住面积只有发达国家的一半左右，甚至低于不少发展中国家，居民不是没有住房需求，而是现有的货币支付能力无法使其去实现购房的愿望。尽管现在买房可以贷款，可以分期付款，但这也需要居民有相当好的收入水平，还要用好多年来供房直到中年甚至更晚才可以还清，一生中最好的时光就都交给了房子。因此如何有效地抑制价格上扬，甚至能够降低房价，是一个备受关注的社会问题。下面就就这个问题展开分析与建立数学模型，来研究如何有效的抑制房价上扬。
二 基本假设
影响房价的因素有许多，房屋建造成本、市场供求关系、城市经济发展、城市规模、等等。现假设房屋价格与各个因素间的关系均为线性关系，且：
（1） 房屋建造成本用竣工房屋造价来代替。
（2） 城市经济发展用人均GDP来表示。
（3） 城市规模用建成区面积来表示。
（4） 市场供求关系通过消费者的支付能力竣工房屋价格来体现，而消费者的支付能力有通过在岗职工的平均工资来衡量。
（5） 房地产价格通过房屋均衡价格来表示
（6） 忽略消费者偏好如有无学校、绿化率、停车位、热水供应状态、通信、房屋建筑形式等对住房价格的影响。
（7） 忽略消费成本如交通费用、物业费用、停车费用等对房价的影响。
（8） 忽略一些炒作对房价的影响。
三 基本符号、变量和用语
A：表示人均GDP序列（元）
B：表示在岗职工平均工资序列（元）
C：表示竣工房屋造价序列（元/㎡）
D：城乡人均储蓄余额序列/元
Y：住房均衡价格指标序列，均衡价格(equilibrium price)是指消费者对某种商品的需求量等于生产者所提供的该商品的供给量时的市场价格。均衡价格是由需求和供给两种力量共同决定的。它与吸纳率和交易价格有关。[1]
：为随机变量；
Uy,Ua,Ub,UcUd分别为Y,A,B,C,D序列的均值序列
ΔY,ΔA,ΔB,ΔC,ΔD分别表示Y-Uy,A-Ua,B-Ub,C-Uc,D-Ud序列，即中心化序列
：序列的方差
, , , ：模型参数
S(a)：为残差的平方和
n ：统计城市数（样本数）
R：中心化序列的协方差
四 建立模型并分析
一、 模型推导过程
表一为我国12个主要城市住房均衡价格及其相关因素的统计表。依照此表我们可以求得各因素与住房均衡价格的相关系数进而判断各因素对房价的影响程度如表二所示。
表一 12个主要城市住房均衡价格及其相关因素的统计表[1]
序号 城市 住宅均衡价格指标
/元/㎡ 人均GDP
/元 建成面积
km2 非农业人口变化率 在岗职工平均工资
/元 人均住宅面积
/m 城乡人均储蓄余额/元 竣工房屋造价
/元/㎡
1 北京 3494.97 19846 488 0.072 14054 13.97 21447.03 2037
2 天津 1636.2 15976 378 0.041 11123 8.6 12417.38 1061
3 石家庄 1424.85 10425 108 0.147 7983 3.16 8105.87 767
4 太原 859.21 10678 177 0.076 7378 12.23 13147.17 760
5 呼和浩特 872.57 7489 79 0.16 7346 6.22 6721.47 866
6 沈阳 1655.62 14989 202 0.028 8511 10.03 13317.48 978
7 大连 1935.43 18429 234 0.079 10259 8.45 13857.8 978
8 长春 1222.49 10261 154 0.073 8618 6.5 6949.56 1087
9 哈尔滨 1502.94 9142 165 0.345 7577 6.96 6957.27 897
10 上海 3119.62 30805 550 0.052 16641 14.96 19778.24 2232
11 南京 1934.31 16816 194 0.108 11931 8.59 10569.5 910
12 杭州 2311.06 19961 171 0.147 12187 6.54 12054.16 1217
同时可以求得各个因素序列的平均值，见附表一
附表一各个因素序列的平均值
住宅均衡价格指标
/元/㎡ 人均GDP
/元 建成面积
km2 非农业人口变化率 在岗职工平均工资
/元 人均住宅面积
/m 城乡人均储蓄余额/元 竣工房屋造价
/元/㎡
平均 1830.8 15401 241.67 0.111 10300 8.85 12110. 1149
表二 各因素与住房均衡价格的相关系数表
人均GDP 建成面积 非农业人口变化率 在岗职工平均工资 人均住宅面积 城乡人均储蓄余额
竣工房屋造价
相关系数r 0.848 0.824 -0.236 0.910 0.766 0.836 0.894
由表二可得，住房均衡价格与非农业人口变化率、人均住宅面积、建成面积的相关系数相对要小，所以这里我们忽略二者的影响，只考虑其他主要因素的影响，主要包括：人均GDP、在岗职工平均 工资、竣工房屋造价、城人均储蓄余额等方面
通过表一我们依次做出主要因素和住房均衡价格的关系图：
图1
图2
图3
图4
由均衡房价和人均GDP、均衡房价和人均工资、均衡房价和竣工造价, 均衡房价和居民平均储蓄的关系图可以看出，均衡房价和人均GDP、人均工资、竣工造价、居民平均储蓄存在着相依的关系，很容易想到用多元线性回归模型
Y= A+ B+ C+ D+…….+
表示因变量Y,对自变量A,B,C,D…….的相依性，其中 , , , …….为参数
模型特点如下：
1、 A、B、C、D….为一般变量， 为随机变量；
2、 Y为一般变量和随机变量的线形组合，Y序列的值既取决于A,B,C序列，又受制于 。
如表三所示各序列
一般假定为白噪声序列，假定其服从均值为0，方差为 的正态分布
表三
序号 城市 Y A B D C
1 北京 3494.97 19846 14054 21447.03 2037
2 天津 1636.2 15976 11123 12417.38 1061
3 石家庄 1424.85 10425 7983 8105.87 767
4 太原 859.21 10678 7378 13147.17 760
5 呼和浩特 872.57 7489 7346 6721.47 866
6 沈阳 1655.62 14989 8511 13317.48 978
7 大连 1935.43 18429 10259 13857.8 978
8 长春 1222.49 10261 8618 6949.56 1087
9 哈尔滨 1502.94 9142 7577 6957.27 897
10 上海 3119.62 30805 16641 19778.24 2232
11 南京 1934.31 16816 11931 10569.5 910
12 杭州 2311.06 19961 12187 12054.16 1217
将其中心化后得
Y-Uy= *(A-Ua)+ *(B-Ub)+ *(C-Uc)+ *(D-Ud)+
上式即为
ΔY = *ΔA + *ΔB + *ΔC + *ΔD+
现在对模型的参数进行最小二乘法估计
其中ΔY、ΔA、ΔB、ΔC、ΔD各序列（矩阵）的值见表四
表四
序号 城市 ΔY ΔA ΔB ΔD ΔC
1 北京 1664.197 4444.58 3753.33 9336.79 887.33
2 天津 -194.573 574.58 822.33 307.14 -88.67
3 石家庄 -405.923 -4976.42 -2317.67 -4004.37 -382.67
4 太原 -971.563 -4723.42 -2922.67 1036.93 -389.67
5 呼和浩特 -958.203 -7912.42 -2954.67 -5388.77 -283.67
6 沈阳 -175.153 -412.42 -1789.67 1207.24 -171.67
7 大连 104.657 3027.58 -41.67 1747.56 -171.67
8 长春 -608.283 -5140.42 -1682.67 -5160.68 -62.67
9 哈尔滨 -327.833 -6259.42 -2723.67 -5152.97 -252.67
10 上海 1288.847 15403.58 6340.33 7668 1082.33
11 南京 103.537 1414.58 1630.33 -1540.74 -239.67
12 杭州 480.287 4559.58 1886.33 -56.08 67.33
令a= ( , , , ) ,则a 的最小二乘估计，应使残差 平方和S(a)达到最小，其中
S(a)= = (ΔY t- *ΔA t- *ΔB t- *ΔC - *ΔDt) ,取 S(a) =0即可得到：
S(a) = 2*(ΔY t- *ΔA t- *ΔB t- *ΔCt- *ΔD)*(-ΔA t)=0---------------------------式1
用Rya表示序列ΔY和ΔA的协方差，Raa表示ΔA序列的方差，Rba,表示序列ΔB和ΔA的协方差，Rca表示序列ΔC和ΔA的协方差：式1可写成：
-Rya+ *Raa+ *Rba+ *Rca+ *Rda=0-----------------------------式2
同理 S(a)＝o推出：
-Ryb+ *Rab+ *Rbb+ *Rcb+ *Rdb =0-----------------------------式3
S(a)＝0推出：
-Ryc+ *Rac+ *Rbc+ *Rcc+ *Rdc =0-----------------------------式4
S(a)＝0推出：
-Ryd+ *Rad+ *Rbd+ *Rcd+ *Rdd=0-----------------------------式5
把式2、式3，式4，式5写成矩阵相乘的形式为：
* =
推求参数的公式为：
= * --------------式6
具体到本题中，我们运用往年的统计数据对模型中各个参数的求解。
经计算得各个协方差的值为：(利用matlab软件)
Raa=38730662
Rba=Rab=18250255
Rca=Rac=2543343
Rda=Rad=25327000
Rbb=8106483
Rcb=Rbc=1257098
Rdb=Rbd=11269000
Rcc=211174.1
Rdc=Rcd=1882000
Rdd=22936000
Rya=4475718
Ryb=2197259
Ryc=343656.3
Ryd=3251000
通过矩阵运算得到 , , , 的值为：(利用matlab软件)
,＝0.0583
=-0.0487
=1.1621
=0.0059
把系数 , , , 代回原模型得：
Y-1830.77=0.0583*(A-15401.4)-0.0487*(B-10300)+1.1621*(C-1149)+ 0.0059*(D-12110.24)+
利用表三中的均衡房价、人均GDP、在岗职工平均工资、竣工房屋造价、城乡人均储蓄余额反推 的值，即：
＝Y-1830.77-〔0.0583*(A-15401.4)-0.0487*(B-10300)+1.1621*(C-1149)+ 0.0059*(D-12110.24)〕
得到的12个 值为：
表五 残差数据
城市序号 残差
1 501.5639
2 -86.8221
3 239.8316
4 -391.561
5 -279.054
6 -45.8512
7 115.1803
8 -287.093
9 228.7031
10 -604.037
11 387.9655
12 228.1861
平均值 0.584425
图5
由于 的平均值为0.584,相对Y值来说非常小，可以近似看成是0，从而予以忽略
故模型进一步化简为：
Y-1830.77=0.0583*(A-15401.4)-0.0487*(B-10300)+ 1.1621*(C-1149)+ 0.0059*(D-12110.24)
即
Y=0.0583*(A-15401.4)-0.0487*(B-10300)+1.1621*(C-1149)+ 0.0059*(D-12110.24)+1830.77
即 六 模型的优化
虽然我们采用统计规律建立起了表示房地产价格的多元线形回归模型，而由此计算出来的结果从整体来看，大体趋势与实际还是比较符合的。但该模型仍然存在着很多问题。
首先，影响房地产价格的因素有好多，而在建立模型时我们忽略掉了很多被认为不好似很重的因素。
除了以上模型中考虑到的影响房屋价格的因素之外，还有一系列其他因素的影响：
（1）房屋的结构、质量、功能、新旧程度是影响房屋价格的重要因素。由于使用不同的建筑材料，不同的施工机构、施工方法和施工技术力量而形成价格差异。
（2）房屋的层数、层次和朝向。房屋有高屋，多层和低层之分，由于其所用设备、施工技术:施工机械化程度不同，各种层数、各种朝向的房屋形成一定的价格差异。
（3）环境因素。房屋所处位置是在城区还是在郊区，交通便利的繁华地段还是背街小巷，交通、文化教育和社区服务设施都对房屋价格产生很大的影响。
（4）国家政策。房屋价格受政策因素的影响很大，在某种情况下，政策因素往往成为房屋价格的决定因素。例如:我国在计划经济时期，实行住宅不作为商品的福利分房政策，其价格远远低于价值，严重影响了房屋的再生产。
（5）还有一些人的投机心理，想利用房价上涨来捞一把，多置房，想以房屋增殖来赚取利润。
以上几个因素对住宅价格都有一定的影响，但由于时间仓促和能力有限，不能对诸多因素进行一一考虑，仅考虑了影响比较大的因素。由此我们采用的是“把握主要矛盾，忽略次要矛盾”的方法，因此该模型仍然具有一种普遍性和代表性，表示了一种基本的思路和算法，在此基础上在考虑其他因素时，此方法仍然是适用的。
其次，我们用来确定模型参数的样本序列仅仅有12组数据，这可以说是犯了应用统计规律的大戒，因为统计规律本来只是适用于一些大样本甚至是无穷大序列，如果在样本很小的情况下应用，结果误差会很大，甚至有时候是错误的。但我们在这里还是用了这样一个小的样本来计算，实际上只是为了说明一种计算的方法，而我们在提出该模型时也确实参考很多的数据，才将之间的个各因素确定为线性的。在计算时为了节省时间又能够说明问题，所以我们只选用了几组数据。
还有就是模型中有些因素存在共线性问题，有待进一步改进。
针对以模型中存在的问题，我们提出如下改进建议。
（1）、对更多的城市的统计数据（样本）进行模型运算，我想精度一定会更高。
（2）、综合考虑城市的各方面因素，如考虑建成面积、流动人口、交通环境等因素。
（3）考虑到共线性问题，我们尽量利用相互独立的因素或利用一些其他更经典的模型。