数列公式

Question

所有的数列公式!
越多越好!

Answer 1

1+2+3+......+n=n(n+1)/2
2。 1^2+2^2+3^2+......+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
3。 1^3+2^3+3^3+......+n^3=( 1+2+3+......+n)^2=n^2*(n+1)^2/4
4。 1*2+2*3+3*4+......+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
5。 1*2*3+2*3*4+3*4*5+......+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)/4
6。 1+3+6+10+15+......
=1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+......+(1+2+3+...+n)
=[1*2+2*3+3*4+......+n(n+1)]/2
=n(n+1)(n+2)/6
7。1+2+4+7+11+......+ n
=1+(1+1)+(1+1+2)+(1+1+2+3)+......+(1+1+2+3+...+n)
=(n+1)*1+[1*2+2*3+3*4+......+n(n+1)]/2
=(n+1)+n(n+1)(n+2)/6
8。1/2+1/2*3+1/3*4+......+1/n(n+1)
=1-1/(n+1)=n/(n+1)
9。1/(1+2)+1/(1+2+3)+1/(1+2+3+4)+......+1/(1+2+3+...+n)
= 2/2*3+2/3*4+2/4*5+......+2/n(n+1)=(n-1)/(n+1)
10。1/1*2+2/2*3+3/2*3*4+......+(n-1)/2*3*4*...*n
=(2*3*4*...*n-1)/2*3*4*...*n

11。1^2+3^2+5^2+..........(2n-1)^2=n(4n^2-1)/3
12。1^3+3^3+5^3+..........(2n-1)^3=n^2(2n^2-1)
13。1^4+2^4+3^4+..........+n^4=n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30
14。1^5+2^5+3^5+..........+n^5=n^2 (n+1)^2 (2n^2+2n-1) /12

15。1+2+2^2+2^3+......+2^n=2^(n+1) – 1
不在其中的发给我。我给你算

Answer 2

等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。
等比数列:an=a1*q^(n-1)
菲波那锲数列 （1 2 3 5 8 13 21。。。）这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和

它的通项公式为：[（1＋√5）/2]^n /√5 － [（1－√5）/2]^n /√5 【√5表示根号5】
随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887……

还有一项性质，从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1

如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64＝65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到

如果任意挑两个数为起始，比如5、-2.4，然后两项两项地相加下去，形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6……等，你将发现随着数列的发展，前后两项之比也越来越逼近黄金分割，且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值

Answer 3

这个数列是由13世纪意大利斐波那契提出的的,故叫斐波那契数列,它有许多神奇的性质.
它的通项公式是
an=1/根号5{[(1+根号5)/2]的n次方-[(1-根号5)/2]的n次方}(n属于正整数)
证明如下：
a（n）=a(n-1)+a(n-2)...（1）
所以，
a(n-1)
=a(n-2)+a(n-3)
[(1+根号5)/2]*a(n-1)=[(1+根号5)/2]*a(n-2)
+[(1+根号5)/2]*a(n-3)...（2）
（1）-（2）
an-[(1+根号5)/2]*a(n-1)=[(1-根号5)/2]*{a(n-1)-[(1+根号5)/2]}*a(n-2)
令an-[(1+根号5)/2]*a(n-1)=b(n-1)
得到b(n-1)=[(1-根号5)/2]*b(n-2)
这样bn是一个等比数列，
首项b1
=a2-[(1+根号5)/2]*a1
=3-(1+根号5)/2*1
=(5-根号5)/2
所以b(n-1)=[(5-根号5)/2]*{[(1-根号5)/2]}^(n-2)
即an-[(1+根号5)/2]*a(n-1)=[(5-根号5)/2]*{[(1-根号5)/2]}^(n-2)
即an=[(1+根号5)/2]*a(n-1)+[(5-根号5)/2]*{[(1-根号5)/2]}^(n-2)
等式两边同时除以[(1+根号5)/2]^n,得到
an/[(1+根号5)/2]^n
=a(n-1)/{[(1+根号5)/2]^n-1}+[(5-根号5)/2]*{[(1-根号5)/2]}^(n-2)/{[(1+根号5)/2]^n}
令an/[(1+根号5)/2]^n＝cn
那么cn=c(n-1)+[(5-根号5)/2]*{[(1-根号5)/2]}^(n-2)/{[(1+根号5)/2]^n}
其中c1=a1/[(1+根号5)/2]=2/(1+根号5)
c1=(根号5-1)/2
c2-c1=[(5-根号5)/(3+根号5)]*[(1-根号5)/(1+根号5)]^0
(注：此部已经把上面那个长式子进行了化简)
c3-c2=[(5-根号5)/(3+根号5)]*[(1-根号5)/(1+根号5)]^1
...
cn-c(n-1)=[(5-根号5)/(3+根号5)]*[(1-根号5)/(1+根号5)]^(n-2)
将以上各式相加
得到
cn
=(根号5-1)/2+[(5-根号5)/(3+根号5)]*{1-[(1+根号5)/(1-根号5)]^(n-1)}/[1-(1-根号5)/(1+根号5)]
所以最后的结果……
an=cn*[(1+根号5)/2]^n
=[(1+根号5)/2]^(n-1)+[(5-根号5)/(3+根号5)]*{1-[(1+根号5)/(1-根号5)]^(n-1)}/[1-(1-根号5)/(1+根号5)]*[(1+根号5)/2]^n
=
1/根号5{[(1+根号5)/2]的n次方-[(1-根号5)/2]的n次方}(n属于正整数)
累死我了。楼主加分吧。

Answer 4

1+2+3+......+n=n(n+1)/2
2。 1^2+2^2+3^2+......+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
3。 1^3+2^3+3^3+......+n^3=( 1+2+3+......+n)^2=n^2*(n+1)^2/4
4。 1*2+2*3+3*4+......+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
5。 1*2*3+2*3*4+3*4*5+......+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)/4
6。 1+3+6+10+15+......
=1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+......+(1+2+3+...+n)
=[1*2+2*3+3*4+......+n(n+1)]/2
=n(n+1)(n+2)/6
7。1+2+4+7+11+......+ n
=1+(1+1)+(1+1+2)+(1+1+2+3)+......+(1+1+2+3+...+n)
=(n+1)*1+[1*2+2*3+3*4+......+n(n+1)]/2
=(n+1)+n(n+1)(n+2)/6
8。1/2+1/2*3+1/3*4+......+1/n(n+1)
=1-1/(n+1)=n/(n+1)
9。1/(1+2)+1/(1+2+3)+1/(1+2+3+4)+......+1/(1+2+3+...+n)
= 2/2*3+2/3*4+2/4*5+......+2/n(n+1)=(n-1)/(n+1)
10。1/1*2+2/2*3+3/2*3*4+......+(n-1)/2*3*4*...*n
=(2*3*4*...*n-1)/2*3*4*...*n

11。1^2+3^2+5^2+..........(2n-1)^2=n(4n^2-1)/3
12。1^3+3^3+5^3+..........(2n-1)^3=n^2(2n^2-1)
13。1^4+2^4+3^4+..........+n^4=n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30
14。1^5+2^5+3^5+..........+n^5=n^2 (n+1)^2 (2n^2+2n-1) /12

15。1+2+2^2+2^3+......+2^n=2^(n+1) – 1

Answer 5

那么多又记不住，记这几个就已经很够了。
等差:an=a1+(n-1)d
Sn=[(a1+an)*n]/2
=a1*n+n*(n-1)d/2
等比:an=a1*q^(n-1)
Sn=[a1（1-q^n)]/(1-q)
=(a1-an*q)/(1-q)