设A=(第一行:1,0,1。第二行2,1,2。第三行0,1,1。),且矩阵A,X满足AX=A+X,求矩阵X。
AX=A+X
则
(A-E)X=A
即X=(A-E)⁻¹A
A=
1 0 1
2 1 2
0 1 1
A-E=
0 0 1
2 0 2
0 1 0
下面来求(A-E)⁻¹,使用
增广矩阵A|E的初等行变换
0 0 1 1 0 0
2 0 2 0 1 0
0 1 0 0 0 1
→ 第1行放到第三行
2 0 2 0 1 0
0 1 0 0 0 1
0 0 1 1 0 0
→第3行x(-1),加到第1行
2 0 2 0 1 0
0 1 0 0 0 1
0 0 1 1 0 0
→第3行x(-2),加到第1行
2 0 0 -2 1 0
0 1 0 0 0 1
0 0 1 1 0 0
→第1行/2
1 0 0 -1 1/2 0
0 1 0 0 0 1
0 0 1 1 0 0
所以(A-E)⁻¹=
-1 1/2 0
0 0 1
1 0 0
而A=
1 0 1
2 1 2
0 1 1
所以(A-E)⁻¹A=
0 1/2 0
0 1 1
1 0 1
即矩阵X=
0 1/2 0
0 1 1
1 0 1
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