首先肯定的是金国不是被元朝的蒙古灭亡，因为金国灭亡的时候元朝还没建立，它是被大蒙古国灭亡的。忽必烈建立的元朝和成吉思汗建立的大蒙古国还是有着本质上的区别的，因此不能混为一谈。
一、大蒙古国的建立与崛起；蒙古民族原本是被金国所统治的，随着金国的衰败，蒙古各族在成吉思汗的统一下逐渐强大起来，并脱离了金国的控制。1206年大蒙古国建立，成吉思汗当上了大汗，并制定了一系列稳固政权的举措。随着内部的安定，之后开始了向外扩张之路。
大蒙古国首先对付的是西夏，并造成了西夏和蒙古共同攻打金国的结果。1211发动了蒙金战争 ，并包围了中都；之后又经过两年战争，迫使金国求和并达成了蒙金和议。大蒙古国随后灭掉西辽、西夏、花剌子模等国，解决这些隐患的同时也在不断挤压金国的生存空间。1230年大蒙古国正式发动三路伐金，并得到了南宋的帮助，在1234年攻陷蔡州，金朝覆亡。
蒙宋灭金后，经过短暂的和平，大蒙古国开始向南宋下手。在1258年蒙哥汗主导的三路大军攻宋期间，蒙哥汗命丧钓鱼城，由此引发了阿里不哥和忽必烈的汗位之争，并导致了大蒙古国的分裂。忽必烈取得胜利后，经过整顿，在1271年公布《建国号诏》，元朝正式建立， 此时离金国灭亡已经过去了30多年了。
通过上述时间节点就能看出，金国是被大蒙古国灭亡的，和元朝没有丝毫关系。有这样的问题主要就是没有分清时间节点和没有理清大蒙古国和元朝的关系。个人观点，如有不正确之处，欢迎留言指正。
古代金国是被大蒙古国灭亡的，而并非元朝的蒙古。当时金国在蒙宋联军夹击下灭国，其灭亡过程极为惨烈，基本上是一场种族的灭亡运动。古代金国灭亡时间为1234年，而元朝正式建立在1271年，此时离金国灭亡已过去30多年，蒙古与金国之间难以磨灭的仇恨，在金国灭亡过程中以残忍的方式体现。
蒙古族原本属于金国统治，后来金国不断衰败，蒙古族在成吉思汗的统治下强大起来，并且成吉思汗于1206年建立大蒙古国，成为大汗。在金国强大的时候，经常派兵给蒙古各族带来麻烦，使蒙古与金国就有深厚的矛盾。于是在大蒙古国政治稳定后，对外扩张国土的需求加上对金国的仇恨，注定金国灭亡的结局。大蒙古国灭亡金国的时间为1234年，灭亡金国之后，大蒙古国还经历了攻宋以及阿里不哥和忽必烈对汗位的争夺，1271年忽必烈才正式建立元朝。从时间上来看，大蒙古国和元朝具有本质上的区别，大蒙古国和元朝的蒙古意思也截然不同。
古代金国如果联合南宋一致对抗蒙古，便有不灭国的可能性。然而在金国强盛的时候，经常派兵给蒙古各族带来无法避免的麻烦和损失，使之间产生了巨大的仇恨，于是在大蒙古国强大的时候，又可隐约看见金国灭亡的未来。而南宋与金国之间也有靖康之耻的血海深仇，所以导致两国无法联手。大蒙古国和南宋对金国一样充满仇恨使两者很快达成联手，金国这一帝国覆灭。金国上到皇室贵族下到普通平民百姓，在战争过程中受到蒙古的屠杀，所有人几乎都遭毒手，金国覆灭过程中的惨烈情景几乎是灭国惨状之最。
古代金国在蒙古大军和南宋的夹击下，毫无招架之力，最后以非常惨烈的结局从中国历史上消失。而它的灭亡是因大蒙古国与南宋的联手攻破，与之后忽必烈所建立的元朝并无关系，金国灭亡与元朝建立之间隔了几十年。