高中立体几何 第一问能用向量做吗怎么建系

Question

如题所述

Answer 1

∵DA⊥面ABC，ED⊥面BCD，DE=DA=AB=AC，∠ABC=120°，M为BC中点

作AF⊥AC交BC于F

建立以A为原点，以AC方向为X轴，以AF方向为Y轴，以AD方向为Z轴正方向的空间直角坐标系A-xyz

设DE=DA=AB=AC=1

则点坐标：A(0,0,0)，B(-1/2,√3/2,0)，C(1,0,0)，D(0,0,1)，M(1/4,√3/4,0)

设E(x,y,z)

∴向量DE=(x,y,z-1)==>|向量DE|^2=x^2+y^2+(z-1)^2=1 *

向量DC=(1,0,-1)，向量DB=(-1/2, √3/2,-1)

向量DC·向量DE=x+1-z=0 **

向量DB·向量DE=-x/2+ y√3/2+1-z=0 ***

*，**，***三式联立解得x=√5/5，y=√15/5，z=1+√5/5

∴E(√5/5, √15/5,1+√5/5)

向量EM=(1/4-√5/5,√3/4-√15/5,-1-√5/5)==>|向量EM|=3/2

∴直线EM与面BCD所成角的正弦值为2/3

太麻烦了绝对不必如此

直接求：

∵面EDM⊥面BCD

∴⊿EDM为直角三角形，DE=1，可求出DM=√5/2，EM=3/2

直线EM与面BCD所成角的正弦值为2/3

Answer 2

向量法肯定是可以做的，原点取在A点，过A做BA的垂线作为x轴，不过需要去计算，但是题中给的线段相等的比较多，所以也不会很难。