设A是一个n×n矩阵,A²=A,证明A相似于一个对角矩阵_

Question

如题所述

Answer 1

设x是A的属于特征值λ的特征向量

则 Ax=λx

所以 A(Ax) = A^2x = A(λx) = λAx = λ^2x

所以 (A^2+A)x = A^2x+Ax = λ^2x + λx = (λ^2+λ)x

所以 λ^2+λ 是 A^2+A 的特征值

矩阵的特征向量是矩阵理论上的重要概念之一，它有着广泛的应用。数学上，线性变换的特征向量（本征向量）是一个非简并的向量，其方向在该变换下不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。

一个线性变换通常可以由其特征值和特征向量完全描述。特征空间是相同特征值的特征向量的集合。

扩展资料

线性变换的特征向量是指在变换下方向不变，或者简单地乘以一个缩放因子的非零向量。

特征向量对应的特征值是它所乘的那个缩放因子。

特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量。

线性变换的主特征向量是最大特征值对应的特征向量。

特征值的几何重次是相应特征空间的维数。

有限维向量空间上的一个线性变换的谱是其所有特征值的集合。

Answer 2

这个问题难度较大，可以如图利用特征值以及矩阵秩的关系证明。

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