初三函数动点问题（难）

Question

非常难的题目
在RT三角形ABC中，∠ACB=90度 AC=BC M是AB的中点，F和E分别是AC、BC上的动点，且AF=CE。
（1）证明：MF=ME
（2）如果动点F在AC的延长线上，动点E在CB的延长线上，结论如何？请于证明
提示：画图

N重要！！！！！！！！！！！！！！！！
https://gss0.baidu.com/7LsWdDW5_xN3otqbppnN2DJv/wsh1/pic/item/f5664f3d244446f03c6d97ea.jpg?v=1

Answer 1

证明：
1）
连接CM
因为∠ACB=90度 AC=BC
所以∠A＝∠B＝45°
因为M是AB的中点
所以CM＝AM＝BM，∠ACM＝∠BCM＝45°
所以∠A＝∠BCM
又因为AF＝CE
所以△AMF≌△CME（SAS）
所以MF＝ME
2）
如果动点F在AC的延长线上，动点E在CB的延长线上，结论还是MF＝ME
理由如下：
连接CM
因为∠ACB=90度 AC=BC
所以∠A＝∠B＝45°
因为M是AB的中点
所以CM＝AM＝BM，∠ACM＝∠BCM＝45°
所以∠A＝∠BCM
又因为AF＝CE
所以△AMF≌△CME（SAS）
所以MF＝ME
（第二问与第一问除了图形有区别外，没有本质区别，证明过程一样）

（注意：本题中除了数量关系MF＝ME外，ME与MF的位置关系也是特殊的，MF⊥ME）

江苏吴云超祝你学习进步

参考资料：http://hi.baidu.com/jswyc/blog/item/2287971374bf47c9c3fd7887.html

Answer 2

等腰直角三角形，有很多相等的边和角，此题中两问都可以用三角形全等来证明
证明：（1）∠ACB=90度 AC=BC 则角A=角B=45度
又M是AB的中点，则AM=BM=CM
AF=CE
则三角形FAM全等于三角形ECM（边角边）
则MF=ME
（2）理由跟（1）中差不多
AM=BM=CM
角FAM=角ECM=45度
AF=CE
则三角形FAM全等于三角形ECM（边角边）
则MF=ME
两问中，无论 E F 在哪，只要AF=CE，就能用全等三角形来证明

Answer 3

1.
因为<ACB=90,M是中点
所以<A=<MCB=45,AM=CM
因为AF=CE
所以AFN全等CEN
所以MF=ME
2.
证明步骤和第一问一样，字母都不用变

Answer 4

(1)连接 MC 容易证 CF=BE,MB=MC,∠FCM=∠MBE
所以，三角形 MCF 全等于 三角形 MBE
==> ME=MF

(2)容易证 CF=BE,MC=MC,∠FCM=∠MCE
所以，三角形 MCF 全等于 三角形 MCE
==> ME=MF

Answer 5

连接CM
因为∠ACB=90度 AC=BC
所以∠A＝∠B＝45°
因为M是AB的中点
所以CM＝AM＝BM，∠ACM＝∠BCM＝45°
所以∠A＝∠BCM
又因为AF＝CE
所以△AMF≌△CME（SAS）
所以MF＝ME
2）
如果动点F在AC的延长线上，动点E在CB的延长线上，结论还是MF＝ME
理由如下：
连接CM
因为∠ACB=90度 AC=BC
所以∠A＝∠B＝45°
因为M是AB的中点
所以CM＝AM＝BM，∠ACM＝∠BCM＝45°
所以∠A＝∠BCM
又因为AF＝CE
所以△AMF≌△CME（SAS）
所以MF＝ME
（第二问与第一问除了图形有区别外，没有本质区别，证明过程一样）

（注意：本题中除了数量关系MF＝ME外，ME与MF的位置关系也是特殊的，MF⊥ME）
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