设二位随机向量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)=2-x-y,0<x<1,0<y<1，0，其他，求Z=X+Y的概率密度函数

Question

如题

Answer 1

解：使用卷积公式
f(z)=∫(-∞,+∞)f(x,z-x)dx
= z(2-z), 0 =< z < 1;
= (2-z)^2, 1 =< z< 2;
= 0, 其他
0<z<1时，因为 0<y<1, 0<z-x<1, 所以 0<x<z.
f(z) = ∫ (-∞,+∞) f(x,z-x)dx
= ∫(0,z) (2-z)dx
= z(2-z), 0<z<1.
当1<=z<2时，同样 0 < z-x < 1, 1 > x > z-1,
f(z) = ∫ (-∞,+∞) f(x,z-x)dx
= ∫ (z-1,1) (2-z)dx = (2-z)^2, 1 =< z < 2.