数列问题

Question

如题所述

Answer 1

(1) 由题意，n>=1时
Sn^2=a1^3+...+an^3 ①
S(n+1)^2=a1^3+...+a(n+1)^3 ②
②-①得：
(S(n+1)-Sn)(S(n+1)+Sn)=a(n+1)^3
a(n+1)(S(n+1)+Sn)=a(n+1)^3
因为a(n+1)>0
所以
S(n+1)+Sn=a(n+1)^2 ③
同理
S(n+2)+S(n+1)=a(n+2)^2 ④
由④-③得
a(n+1)+a(n+2)=a(n+2)^2-a(n+1)^2=(a(n+1)+a(n+2))(a(n+2)-a(n+1))
因为a(n+1)+a(n+2)>0
所以
a(n+2) - a(n+1) = 1
即从n=2开始a为公差为1的等差数列
根据题中式子容易求出a1=1, a2=2 （求解的时候a2=-1的解被舍掉了）
因为a2-a1=1，所以a为从n=1开始公差为1的等差数列
an = a1 + (n-1)d = n

(2)bn = (1-1/n)^2-a(1-1/n)
b(n+1)=(1-1/(n+1))^2-a(1-1/(n+1))
b(n+1)-bn
=(2n^2-1)/(n^2 * (n+1)^2) - a/(n(n+1))
=(2n^2 - 1 - a*n*(n+1))/(n^2 * (n+1)^2)
由于分母大于0，因此我们只讨论分子
f(n) = 2n^2 - 1 - a*n*(n+1)
=(2-a) n^2 - a*n - 1
>0 恒成立
把f(n)看做关于n的二次函数，则若要在n为正整数时大于0，显然应该开口向上，因此

2-a>0 => a<2
因为f(0)=-1<0，画二次函数图像可知，无论对称轴在y轴左侧还是右侧，对任意正整数n有f(n)>0当且仅当f(1)>0
因此
2-a-a-1>0
a < 1/2
综上所述，a的取值范围为(-∞,1/2)

Answer 2

a1^3+a2^3+.......+a(n-1)^3=[a1+a2+a3+...+a(n-1)]^2
a1^3+a2^3+.......+an^3-[a1^3+a2^3+.......+a(n-1)^3]=(a1+a2+...+an)^2-[a1+a2+...+a(n-1)]^2
an^3=an{2[a1+a2+...+a(n-1)]+an}
an(an-1)=2[a1+a2+...+a(n-1)]
a3=3 a4=4 a5=5 ... an=n