设矩阵A是正定矩阵，C是m×n矩阵，B=CTAC,其中CT是C的转置矩阵，证明B实正定矩阵的充要条件是C的秩等于n

Question

如题所述

Answer 1

1. 首先注意到实对称阵的特征值都是实数,因此只要说明B的特征值都是正实数.设a是B的一个特征值,有对应的特征向量X,即：BX = aX.则
X^tABX + X^tBAX = X^tA(aX) + (BX)^tAX = aX^tAX + aX^tAX = 2aX^tAX
而据已知条件,
X^tABX + X^tBAX = X^tCX > 0
且X^tAX > 0（此二处利用A、C的正定性）
故a>0.
2. A正定当且仅当对所有向量X,X^tAX>0.而C可逆,于是对任何向量X,总有向量Y,使得 X=CY.于是 “C^tAC正定”=> Y^t(C^tAC)Y>0 => X^tAX>0 ,反之亦然.