球面上的几何
我们生活在地球上，地球表面十分接近于一个球面。因此，在实际生活中，球面上的几何(简称球面几何)知识有着广泛的实际应用。例如，大地（天体）测量、航空、卫星定位等方面均需利用球面几何的知识。在理论上，球面几何是一个与欧氏平面几何不同的几何模型，是一个重要非欧几何的数学模型，球面几何在几何学的理论研究方面，具有特殊的作用。
本专题将使学生了解一个新的数学模型——球面几何，初步学习球面几何的一些基本知识及其在实际中的一些应用，通过比较球面几何和欧氏平面几何的差异和联系，感受自然界中存在着丰富多彩的数学模型。类比是学习这个专题所用到的重要的思想方法，空间想像和几何直观能力是学好这个专题的关键。
内容与要求
1．通过丰富的实际问题（如测量、航空、卫星定位），体会引入球面几何知识的必要性。
2．通过球面图形与平面图形的比较，感受球面几何与欧氏平面几何的异同。例如，球面上的大圆相当于平面上的直线，球面上两点之间的最短距离是大圆弧的劣弧部分，球幂定理。
3．通过对实例的分析，体会球面具有类似平面的对称性质。
4．了解球面上的一些基本图形：大圆、小圆、球面角、球面二角形（月形）、极与赤道、球面三角形、球面三角形的极对称三角形（简称球极三角形）。
5．通过球面几何与欧氏平面几何比较，探索欧氏平面图形的哪些性质能推广到球面上，并说明理由，由此理解球面三角形的全等定理s．s．s，s．a．s，a．s．a。
6．理解单位球面三角形的面积公式（S=A＋B＋C－π），由此体会球面三角形内角和大于180O。
7．了解球面三角形全等的a．a．a定理。
8．利用球面三角形面积公式证明欧拉公式，体验球面几何与拓扑学的关系。
9．利用向量的叉乘（向量积）探索并证明球面余弦定理（cosc=cosacosb+sinasinbcosC）和球面上的勾股定理（即当C=π/2时的球面余弦定理），能从球面的余弦定理推导出球面的正弦定理（sinA/sina=sinB/sinb=sinC/sinc）。
10．体会当球面半径无限增大时，球面接近于平面，球面的三角公式就变成相应的平面三角公式。
11．初步了解另一种非欧几何模型——庞加莱模型。
12．完成一个学习总结报告。报告应包括三方面的内容：（1）知识的总结。对本专题整体结构和内容的理解，说明球面几何与平面几何中哪些公式（定理）是相同的，哪些公式有本质差异；说明为什么相对于半径来说很小的一小片球面可以作为一个平面来对待。（2）通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，进一步思考几何与现实空间的关系。（3）学习球面几何的感受、体会。
说明与建议
1．本专题的重点是培养学生空间想像和几何直观能力。
2．教学中应使学生切实地感受利用球面几何知识可以解决（或解释）生活或生产中的一些实际问题。在介绍球面几何时，让学生通过欧氏平面几何和球面几何的类比，得到球面几何的相关结论，促使学生思考平面几何模型与球面几何等非欧几何模型的差异。
3．介绍球面几何与欧拉公式，主要是为了开拓学生的数学视野，使学生了解一些非欧几何模型，对学生掌握现代数学思想方法有很大帮助。
4．球面几何涉及到大量的空间图形的对称性（变换），在条件允许的学校，教学中可以充分利用（CAI）多媒体技术。
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