有界函数是设f(x)是区间E上的函数,若对于任意的x属于E,存在常数m、M,使得m≤f(x)≤M,则称f(x)是区间E上的有界函数。其中m称为f(x)在区间E上的下界,M称为f(x)在区间E上的上界。
有界函数并不一定是连续的。根据定义,ƒ在D上有上(下)界,则意味着值域ƒ(D)是一个有上(下)界的数集。根据确界原理,ƒ在定义域上有上(下)确界。一个特例是有界数列,其中X是所有自然数所组成的集合N。由ƒ (x)=sinx所定义的函数f:RR是有界的。当x越来越接近-1或1时,函数的值就变得越来越大。
(1)等价定义:设ƒ(x)是区间E上的函数。若对于任意属于E的x,存在常数M>0,使得|ƒ(x)|≤M,则称ƒ(X)是区间E上的有界函数。
(2)相关性质:
②连续性:闭区间上的连续函数必有界。其逆命题不成立。
③可积性:闭区间上的可积函数必有界。其逆命题不成立。
扩展资料:
无界函数:
无界函数即不是有界函数的函数。也就是说,函数y=f(x)在定义域上只有上界(或只有下界);或者既没有上界又没有下界,称f(x)在定义域上无界,在定义域无界的函数称为无界函数 。
设ƒ为定义在D上的函数,若对于任何M(无论M多大),都存在x0∈D,使得|ƒ(x)|≥M。