一道数列题，我觉得挺难的，求待定系数方法的证明

Question

数列中，A1=1,A2=2, A(n+2)=-A(n+1)+2An （A后的括号代表下标）求An通项

这道体我当时记了个方法：原式变形后 A(n+2)+A(n+1)-2An＝0
令 X^2+X-2=0 解得X=-2 或 1 所以｛A(n+1)-An｝为公比-2的数列；｛A(n+1)+2An｝为公比1的数列
然后联立 解出来

请问上述方法有什么理论依据？？（为什么有的变成X^2,有的变成X，有的变成常数？）
这种方法的一般套路是怎样的？

Answer 1

对于上述方法，应该说是特征根法和不动点法。
特征根：
对于多个连续项的递推式（不含常数项），可化为X的(n-1)次方程.
即：a0*An+a1*An+1+a2*An+2+...ak*An+k可写为：
a0+a1x+a2x^2+...akx^(k-1)=0
然后求出根（实根虚根都可以），不同项写成C*x^(n-1),相同项写成关于n的整式，有多少同根，n的次数就是同根数减1，比如求出x1=2,x2=3,x3=3,x4=6,x5=3,通项就是：a*2^(n-1)+b*6^(n-1)+3*(cn^2+bn+d),其中abcde都是待定系数，要靠已知项联立方程求解。

不动点：
比如：已知a1=1,且a(n+1)=1+2/an (n大于等于1),求an
a(n+1)=(an+2)/an(*)
令an=x,a(n+1)=x
x=(x+2)/x
x^2-x-2=0
x1=2,x2=-1
{(an-2)/(an+1)}为等比数列
令(an-2)/(an+1)=bn
b(n+1)/bn=[(a(n+1)-2)/(a(n+1)+1)]/[(an-2)/(an+1)]
(将a(n+1)用*式换成an)
=-1/2
b(n+1)=(-1/2)bn
b1=-1/2
bn=(-1/2)^n=(an-2)/(an+1)
an=[2+(-1/2)^n]/[1-(-1/2)^n],n>=1

注：形如：a(n+1)=(Aan+B)/(Can+D)，A,C不为0的分式递推式都可用不动点法求。让a(n+1)=an=x，代入化为关于x的二次方程
(1)若两根x1不等于x2，有{(an-x1)/(an-x2)}为等比数列，公比由两项商求出
(2)若两根x1等于x2，有{1/(an-x1)}为等差数列，公差由两项差求出
若无解，就只有再找其他方法了。
并且不动点一般只用于分式型上下都是一次的情况，如果有二次可能就不行了。

对于原理，要大学才学，是建立在对方程的研究之上的。

Answer 2

该法称为特征根法
因为指数函数有性质r^(m+n)=r^m*r^n,考虑实系数二阶线性递归数列an+pa(n-1)+qa(n-2)=0(p,q为实数）具有an=r^n形式的解，代入就有r^n+pr^(n-1)+qr^(n-2)=0
所以r^2+pr+q=0，这就是r应满足的方程，叫做特征方程。
解出特征方程的根，要分3种情况对待：
（1）若有2个不等实根r1和r2,对应解为an=C1*r1^n+C2*r2^n(C1,C2为待定系数，由初始条件确定）
（2）若有2个等根r1=r2,解为an=r1^n(C1+C2*n)
（3）若有2个共轭复根r1,2=t(cosθ±isinθ），解为an=t^n(C1*cosnθ+C2*sinnθ）
上述结论可以从2阶推广到n(n>2)阶的情形，但要分单根和k重根，实根还是共轭虚根分别处理，不再赘述。
一般地n阶实系数线性递归数列是n个解的线性组合，所以有n个待定系数，由数列的初始条件决定。数列解的结构与函数的线性无关性密切相关，通解是n个线性无关函数（称为特解）的线性组合。 所谓两个线性无关就是他们的商不是常数，而是与x有关的函数。如函数y=2x与y=x^2线性无关，但y=x与y=3x线性相关。
说得深入了一点，以后你上大学就理解了。学无止境啊！

Answer 3

题:数列中，A1=1,A2=2, A(n+2)=-A(n+1)+2An （A后的括号代表下标）求An通项

引: 一般书上讲到特征(方程)根(值)法,发生函数(母函数,生成函数)法,差分方程法,大都只讲其然而不讲其所以然.其实,很容易理解的.
高中课程中,主要讲等差数列,等比数列;复杂的问题,也通过转化为这两者来解决.我们可以看到,其递推式:An=A(n-1)+d;An=qA(n-1),均是一阶递推关系(阶数:即式中未知项的下标差),其一般形为An+xA(n-1)+y=0.
可以通过简单的转化,求得An+xA(n-1)+y=0型递推关系的解,即求得通项An.
对于二阶递推式,可以转化为一阶关系来求解.这正与我们研究二次方程时将它转化为两个一次方程一样.正鉴于此,人们在此基础上进一步总结,最后脱离了转化过程,象下围棋的定式一般,总结到了方法,得到了公式,于是就有了特征根法,等等.

解:
构造等式:
A(n+2)-xA(n+1)-y(A(n+1)-xAn)=0(***)
即:A(n+2)-(x+y)A(n+1)+xyAn=0
与A(n+2)+A(n+1)-2An＝0比较可知:
x,y是方程zz+z-2=0的两根.
(***)式说明:A(n+2)-xA(n+1)是公比为y的等比数列;
于是
A(n+1)-xAn=函数f(n)=y^(n-1)(A2-xA1) (###1)
再构造f(n)=g(n+1)-xg(n) ,从而取An=g(n).

另外,根据x,y的对称性, 可将(***)式等效转化为
A(n+2)-yA(n+1)-x(A(n+1)-yAn)=0(***)
也即:A(n+2)-yA(n+1)是公比为x的等比数列.
于是当x,y不等时,还可得到
A(n+1)-yAn=x^(n-1)(A2-yA1) (###2)
由###1,2两式可以方便地得到An.
在这里,我们可以总结出经验,
An形如ax^n+by^n,系数a,b除可由上面###1,2两式直接得到之外,
但我们既然已经知道了An形如ax^n+by^n
用初始两项A2=ax^2+by^2,A1=ax+by求得则更快.
这便是待定系数法了.

另请参见拙文:
由递推式求通项方法原理-广义fibonacci数列的通项求法
http://hi.baidu.com/wsktuuytyh/blog/item/f3ce1517f4f16c0ec83d6d7b.html

Answer 4

数列中，A1=1,A2=2, A(n+2)=-A(n+1)+2An （A后的括号代表下标）求An通项这道体我当时记了个方法：原式变形后 A(n+2)+A(n+1)-2An＝0令 X^2+X-2=0 解得X=-2 或 1。因为两特征根不相等，所以可设An=a*(-2)^2+b*1^2，根据A1和A2的值解出a和b，即得通项公式，这是因为数列由前几项和，递推关系完全决定。而这样求的通项公式，显然满足这两个条件。值的注意的是如果两个特征根相等，比如A1=1，A2=1，A_(n+2)=4A_(n+1)-4A_n，两个特征根都是2，那么可设An=(a+b*n)*2^n，再解出来。