概率知多少

Question

一天，我看了一个叫做概率知多少的节目，其中有一个概率知识吸引了我，具体如下：有三个盒子，其中有两个里面装着令人不愉快的东西，还有个盒子里面装10英磅，现在要你选个盒子，选好后主持人在另外的两个盒子中打开一个盒子，里面装着是今人不愉快的东西，然后主持人给你机会让你选换还是不换你现在选择的盒子。这个题的本质就是你换与不换盒子的概率是不是一样
一开始我想当然的想换与不换的概率当然是一样的啦，一开始你选中的概率是1/3，打开个盒子后，你选中的概率是1/2。
但是节目主持人马上给出了换后概率更大的“证明”，我只能用这个“证明”来形容，因为它给出简单的“证明”就是有100个盒子，选中一个后，然后主持人打开98，然后再问你换还是不换，说换的概率是中奖的概率是99%，一开始我被这主持人忽悠过去了，就想当然的认为他是对的。
然后我就开始想它的99%是怎么来的，想来想去得出如下：100个盒子中有一个装着奖，其余的都是空的，打开前面98个是空的概率易知是：（99/100）*（99/98）*（98/97）*……*（3/2)=1/50，然后还剩下两个盒子，假定你选其中一个，好，到了问题的关键了，那么说另外是空的概就是，也就是你把另外一个先打开又是空的概率是（1/2）*（1/50）=1/100，换句话说打开不是空盒的概率是1-1/100=99%，所以我们应该选换盒子。从这里我就得到了主持人的那个“答案”。一开始我好兴奋，但无意中发现如果我不选打开我不选的那个盒子，而选择先打开我已选好的盒子又是空盒的概率是不是也是（1/2）*（1/50）=1/100，也就是说这个盒子不是空盒的概率是1-1/100=99%，也就是说我应该不换啊，不换的概率也是99%啊，这与那个节目的答案应该是矛盾的，一开始我不觉得节目答案是错误，但我在找寻我的答案为什么矛盾的过程中我发现，那个节目在这方面的结论是缪论，是错误的。
正确的结论应该是打开盒子后，你换不换的概率都是一样的！
我的证明过程如下：
先从三个盒子开始，该游戏所有的可能分为：你中奖与不中奖，不中奖的概率有分为，一开始主持人打开的就是中奖的盒子或主持人打开不中奖的盒子后你选择没中奖的盒子，这个不中奖的概庇为：1/3+（2/3）*（1/2）=2/3；中奖的概率为：（2/3）*（1/2）=1/3，你换与不换后面的1/2中奖率是不会变的。然后再是一百个盒子，同理不中奖的概率：（1-1/50）+（1/50）*（1/2）=99%，中奖的概率：（1/50）*（1/2）=1%，后面在换与不换的上面中奖概率为1/2，所以换与不换是一样的。也许到现在大家都要骂我，因为该问题到最后你还不是在讲后面换与不换的概率是1/2，还不是没有证明该问题的本质后面为什么换与不换的概率是1/2。的确我是不能证明，但我这样是为了提出另一个问题，那就是，用这样的思路去算，到后面只剩两个盒子时，也就是问题之初我算出来又打开是空盒的概率是（1/2）*（1/50）=1%，也就是我没选定的盒子是空盒的概率是1%，可我选定的盒子是空盒的概率呢？答案也是我最初算的1%，这时候大家可能就开始无语了，这只剩两个盒子了，怎么所有可能的因素概率加起来只有2/100，与一个完整事件所有可能的因素的概率是1相矛盾啊。到此时我再不能多说了，只能告诉你，其实最后那两个空盒子是个完整事件，但只是1/50完整事件，这个事件发生的前题是你必须发生那1/50，也就是你前面必须打开的都是空盒子，所以到最后两个盒子时，那完整事件所有可以因素的概率加起来只等于1/50，也就是中奖发生的概率是1/100，不中奖发生的概率也是1/100，也就是换与不换你中奖的概率它都不会变。
我提问的目的在于有人能反驳我的观点，把证明给我。还有有谁知道discover概率知多少那个节目的联系方式，我想证明他们在那概率上的错误。

Answer 1

这道题目根本是错题,能看出这题错的,百无其一.

从3个盒子入手:

一、
三个门1、2、3号，只有一个门之后有奖品，主持人知道是哪一个，抽奖人选择一个门之后（比如1号），主持人告诉他：2号和3号门有一个门肯定没有奖品，我告诉你是2号，你要不要换3号？

二、
三个门1、2、3号，只有一个门之后有奖品，主持人知道是哪一个，抽奖人选择一个门之后（比如1号），主持人告诉他：2号和3号门有一个门肯定没有奖品，“但即使二个门都没有奖品我也只能推开一个门”，我告诉你是2号没有，你要不要换3号？

三、
三个门1、2、3号，只有一个门之后有奖品，主持人知道是哪一个，抽奖人选择一个门之后（比如1号），主持人告诉他：2号和3号门有一个门肯定没有奖品，“如果二个门都没奖品，我将全部推开”，我告诉你是2号没有，你要不要换3号？

易见，命题二，三共同构成命题一，换句话或，单纯的命题一是不可解的。

对于命题三，不废话，很明显，换成3号,所以我们只考察问题二，有了附加条件，此题可解。

用事件A,B,C分比较表示奖品在1，2，3号，易见，A,B,C构成完备事件组，且当且仅当奖品数为1时，A,B,C构成完备事件组

另设离散随机变量X,其取值为:

X=1;2,3中有一个空门；
X=2;2,3中有二个空门；

{X＝i}同样构成完备事件组：

P(A)=sigma(p(X=i)*P(A|X=i)),i=1,2,全概率公式

易见：p(A|X=1)=0,P(A|X=2)=1;

故P(A)=P(X=2),(*)

到这，要特别强调的是，(*)式中P(A)表示的是推门之后的概率，而P(X=2)表示的是“推门之前”B,C中有二个空门的概率，当然，这不是我人为规定的，二是算式本身“允许”的意义之一。

事实上，我们同样可以定义p(X=2)为推门后的概率，但这样一来，(*)式就不可求了，我们无法断定X事件在推门前后取值的概率是否发生了变化（其实当然是变化了）

有人要问，问什么你的p(X)可以随便定义？呵呵，秘诀就是,X在任何时刻构成完备事件组，不管你门推不推，X的取值都只能是1或2，是完备事件组就可以用全概公式.而不需要考虑“事前事后”等条件。

p(A)=P(X=2)=1/3

这个结论表明,在主持人知道奖品在哪个盒子,并且只推一个门(B)的前提下,奖品最终在C的可能性比在最初选的盒子(A)的概率大一倍.

如果主持人事先也不知道奖品在哪个盒子里,只是随手推开B,那个奖品在A和C中的概率相等.

Answer 2

当然是一样的，明显是独立事件...
我觉得都是三分之一，应该和主持人打不打开盒子没关系吧，这个和抽奖的问题有点像。
是这样的，这道题有一个隐含的条件。
这是大学第一节概率课时老师问的，呵呵，借花献佛了。

隐含条件：主持人是否知道10英镑在哪个盒子里。

知道：则他一定打开其中一个装着不愉快东西的盒子，这样，导致改变后抽到10英镑的概率更大。

不知道：则改变不改变概率都是一样。只是主持人凑巧打开一个装着不愉快东西的盒子而已。
回答者： 寂寂落定 - 首席运营官 十三级 2-9 15:18
不对啊,当你打开盒子的过程,那么剩下的盒子中奖几率会变的.而不是一开始怎样,最后也是那样.

应该和主持人打不打开盒子有关系吧！按照主持人打不打开盒子不好计算。

我同意你的观点。
不过就我本人觉得根本没有那么深奥，因为选中一个盒子后，盒子并没有打开，所以说跟没选择之前的概率是一样的。
你觉得呢？
主持人是对的，就拿你说的100个杯子的例子。
100个杯子中只有一个杯子有奖，其余的都是空的，在你任意的选择了一个杯子后，主持人打开了剩下的99个杯子中的98个，最后就剩你选的杯子和另一个杯子。那过程应该是这样的？对吧。
我的证明过程如下：
在还是100个杯子的时候你任意选中一个杯子的中奖的概率为1%，这跟主持人打不打开剩下的98个杯子没关系，你所选择的那个杯子中奖的概率就是%。但在主持人打开98个杯子后，如果这时你选择了最后剩下两个杯子中的另一个的话，中奖概率就变成了100%-1%=99%。LZ你仔细思考一下，两个杯子中肯定有一个有奖，你选的那个是1%的可能性，这是站在如果要换剩下的两个杯子的角度来说的（如果一开始就只有两个杯子的话中奖概率肯定只是1/2这个谁都知道）。最关键的是刚才是你选的那个杯子中奖的概率始终是1%这是绝对不会变的。

这只是我个人的观点看法，答案能不能让你满意就不得而知了。
转换之后，共有3中可能
1、你选中 不愉快1号，主持人选中不愉快，转换将赢得10英镑。
2、你选中 不愉快2号，主持人选中不愉快，转换将赢得10英镑。
2、你选中10英镑，主持人选中不愉快，不换将得到 不愉快的东西。

可以知道，如果你换了，得到10英镑的概率为2/3

然而，而不换的话
1、你选中 不愉快1号，主持人选中不愉快，不换将得到 不愉快的东西。
2、你选中 不愉快2号，主持人选中不愉快，不换将得到 不愉快的东西。
2、你选中10英镑，主持人选中不愉快，不换将得到 10英镑。

这时的概率为1/3

设事件A为一开始选中了10英镑, B为进行了交换, C为获得了最终10英镑奖励
非A记做~A, 题目则为判断P(C|B)和P(C|~B)是不是相等.

那么,由题意:
一开始选中10英镑的概率P(A)=1/3, 则P(~A)=2/3
在"选中了10英镑,并且进行了交换"的条件下, 获得最终10英镑奖励的概率P(C|AB)=0
在"没选中了10英镑,并且进行了交换"的条件下, 获得最终10英镑奖励的概率P(C|~AB)=1
在"选中了10英镑,并且没进行交换"的条件下, 获得最终10英镑奖励的概率P(C|A~B)=1
在"没选中了10英镑,并且没进行交换"的条件下, 获得最终10英镑奖励的概率P(C|~A~B)=0

根据全概率公式, 有:
P(C|B) = P(C|BA)*P(A)+P(C|B~A)*P(~A) = 0*1/3+1*2/3 = 2/3
P(C|~B) = P(C|~BA)*P(A)+P(C|~B~A)*P(~A) = 1*1/3 + 0*2/3 = 1/3

所以P(C|B)≠P(C|~B)
即, 在"进行交换"条件下最终获奖的概率 不等于 在"没进行交换"条件下最终获奖的概率

Answer 3

是这样的，这道题有一个隐含的条件。
这是大学第一节概率课时老师问的，呵呵，借花献佛了。

隐含条件：主持人是否知道10英镑在哪个盒子里。

知道：则他一定打开其中一个装着不愉快东西的盒子，这样，导致改变后抽到10英镑的概率更大。

不知道：则改变不改变概率都是一样。只是主持人凑巧打开一个装着不愉快东西的盒子而已。

Answer 4

弄了个验前概率，验后概率在这里说那么多~
要看那个主持人知不知道有英镑的是哪个盒子了~如果他是知道的~而且他刻意去打开一个没有英镑的盒子（也可以是有英镑的）~那么换的概率就会改变~这个就是所谓的验后概率~~
如果主持人是不知道的呢~打开一个后，你换不换的概率都是一样的了~与此类似的实验有~100个小球中只有1个白球，每个球被抽中的概率是一样的，不管你第几次抽，抽中的概率都是一样的~
你可以看一下《概率论》的验后概率部分~还有不懂的可以HI我

Answer 5

不能这样算，概率是不一样的，你要用后验，这里打很不方便，算出来就是换的几率是2/3,不换是1/3你可以这样想嘛，不换的话就始终定着那1/3盒子上，换的话可是压到了2/3因为那两个盒子你必然可以得到好的那个