让我们首先深入了解自动控制理论中的基石——开环系统与闭环系统。在控制系统中，开环系统(Open loop)是一种设计，其输出(Q)不依赖于输入(Tw)，反馈机制(feedback)并不参与，其关系式简单表述为 Q=f(Tw)。
而闭环系统(Closed loop)则不同，它允许输入和输出之间存在反馈，输出的变化会影响输入，从而实现系统的自我纠正。在设计时，自动控制系统的目标是构建稳定、高效的工作环境，这就需要对系统稳定性进行深入分析。
稳定性是控制理论的核心要素。一个系统若能在偏离设定值后逐渐回归，我们称其为稳定。例如，A点的输出偏离后无法返回原点，不稳定；而B点的系统在偏离后会在原点形成有限范围内的振荡，属于稳定状态；C点则是稳定的，虽然有振荡，但最终能回到平衡点。
稳定性分析通常从系统传递函数着手。以单位阶跃输入(unit impulse input)对系统进行测试，拉普拉斯变换将这个问题转化为数学语言。对于开环系统(Open loop transfer function)，我们有：
而对于闭环系统(Closed loop transfer function，我们关注输出与输入的动态关系：
通过拉普拉斯逆变换，我们可以直观地观察到，当系统的阻尼不足时，如在s = 0时，闭环系统的输出不为零，这表明系统不稳定。
以具体例子来说，考虑系统 H(s) = 1/(s + 1 + j2)。通过分析其极点，我们发现：
综上所述，理解开环和闭环系统以及它们的稳定性对设计高效、可靠的自动控制系统至关重要。在实际应用中，系统设计师必须精细权衡系统性能，确保系统的稳定性和响应速度，以满足特定应用的需求。