向量的夹角与点积有什么关系？

Question

如题所述

Answer 1

当两个非零向量 a 和 b 的点积（或内积）小于零时，即 a · b < 0，可以得出以下结论：
1. 夹角为钝角：夹角 θ 大于 90 度。
这是因为点积的定义为 a · b = |a| |b| cos(θ)，其中 |a| 和 |b| 分别表示向量 a 和 b 的长度，θ 表示夹角。当夹角 θ 大于 90 度时，cos(θ) 小于零，所以 a · b = |a| |b| cos(θ) 必然小于零。
2. 夹角为平角：夹角 θ 等于 180 度。
这是因为当两个向量的夹角为平角时，它们是相互反向的，即完全相反的方向。所以点积为 a · b = |a| |b| cos(θ) = -|a| |b|，由于点积小于零。
需要注意的是，当 a 和 b 为零向量时，无法确定夹角，因为零向量与任何向量的夹角都无定义。