如何求三阶方程的齐次通解？

Question

如题所述

Answer 1

三阶常系数齐次通解结构步骤如下：

1、假设给定的方程为：（a\frac{{d^3y}}{{dx^3}}+b\frac{{d^2y}}{{dx^2}}+c\frac{{dy}}{{dx}}+dy=0）；其中，（a）、（b）、（c）和（d）是常数。

2、通常，我们假设方程的解为（y=e^{rx}），其中（r）是一个常数。将这个假设代入方程，可以得到一个特征方程：（ar^3+br^2+cr+d=0），解特征方程得到三个根（r_1）、（r_2）和（r_3）。

3、根据这三个根的不同情况，可以得到齐次通解的结构，当存在三个不同的实根（r_1）、（r_2）和（r_3）时，通解可以表示为：（y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}+C_3e^{r_3x}），其中，（C_1）、（C_2）和（C_3）是任意常数。

4当存在一个实根（r）的重根时，通解可以表示为：（y（C_1+C_2xe^{rx}+C_3e^{r_3x}），其中，（C_1）、（C_2）和（C_3）是任意常数。

5、当存在一对共轭复根（a\pmbi），其中（a）和（b)是实数，（b\neq0）时，通解可以表示为：（y=e^{ax}（C_1\cos（bx）+C_2sin（bx）C_3e^{ax}），其中，（C_1)、（C_2）和（C_3）是任意常数。