什么是三角形内角平分线？

Question

如题所述

Answer 1

关系是：三角形内角平分线所对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。从一个角的顶点引出的把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线。三角形的一个角的角平分线交其对边的点所连成的线段，叫做这个三角形的一条角平分线。

角平分线成比例定理是数学中的一种定理，该定理指出三角形内角平分线所对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。三角形的内心到三边的距离相等，是该三角形内切圆的圆心。角平分线是在角的型内及形上，到角两边距离相等的点的轨迹。

如下图，已知在四边形ABCD中，BC＞AB,AD=CD,BD平分∠ABC.求证:∠A＋∠C=180°。

证法一：如下图，过点D作BC、BA的垂线，垂足分别是M、N. ∵BD平分∠ABC ∴ DM=DN 又∵ AD=CD ∴Rt△DMC≌Rt△DNA（HL） ∴∠NAD=∠C ∵∠BAD＋∠NAD=180° ∴∠BAD＋∠C=180°。

证法二：如下图，在BC上截取BE=AB，连接DE，可证得△ABD≌△EBD（SAS） ∴∠A=∠BED, AD=ED ∵AD=CD ∴ED=CD ∴∠C=∠DEC ∴ ∠A＋∠C=∠BED＋∠DEC=180°。

证法三：如下图，延长BA到E，使BE=BC,连接ED. 可证△BDE≌△BDC（SAS） ∴∠E=∠C， ED=CD. ∵AD=CD ∴ AD=ED. ∴ ∠E=∠DAE，∠C=∠DAE， ∴ ∠BAD＋∠C=∠BAD＋∠DAE=180°。