线性代数，

Question

若a1,a2,...as线性无关，则添加分量后仍线性无关，反之，若一组向量线性相关，则去掉某些分量后仍线性相关。这句话对吗？为什么？我有些疑问。

Answer 1

知识点: a1,a2,...,as线性无关 <=> 齐次线性方程组 (a1,a2,...,as)x=0 只有零解
a1,a2,...,as线性相关 <=> 齐次线性方程组 (a1,a2,...,as)x=0 有非零解

若 a1,a2,...,as 线性无关
则 (a1,a2,...,as)x=0 只有零解
添加分量则增加了方程的个数,即增加了未知量的约束条件, 方程组的解只会减少
故对应的齐次线性方程组仍只有零解
进而向量组线性无关.

反之, 若a1,a2,...,as线性相关
则 (a1,a2,...,as)x = 0 有非零解
去掉某些分量相当于减少了方程组中的方程的个数, 即减少了未知量的约束条件, 方程组的解只会增加, 故对应的齐次线性方程组仍有非零解, 进而向量组线性相关.追问

请问老师 添加的分量 可能是0向量吗？

追答

在同一位置可添加任意分量

Answer 2

对的

假设
k1a1 + k2a2 + …… + ksas = 0
其中k1,k2,……,ks不全为0
此时a1,a2,……,as线性相关

上面的等式可以写成一个方程组的形式

去掉一些分量之后，相当于方程组中要丢掉一些方程
可以发现原来的方程的解仍是后来的方程的解
k1a1' + k2a2' + …… + ksas' = 0
仍然成立

Answer 3

对，线性无关就说明没有成比例的向量，再添加分量向量就更不能成比例，线性相关说明有成比例的向量，去掉一行，对应还成比例

Answer 4

对的。证明：
考虑对应方程组的解是否有非零解即可
若方程aj是m维向量，aj=(a1j,a2j,……,amj),j=1,2,……,s
考虑方程组(1)
a11x1+a12x2+……+a1sxs=0
……
am1x1+am2x2+……+amsxs=0
若ai增加分量为n维（n>m），aj=(a1j,a2j,……,amj,am+1j,……,anj),j=1,2,……，s
则有方程组（2）
a11x1+a12x2+……+a1sxs=0
……
am1x1+am2x2+……+amsxs=0
am+11x1+am+22x2+……+am+1sxs=0
……
an1x1+an2x2+……+ansxs=0
因为a1,a2,...as线性无关，所以方程组(1)只有零解
假设增加分量后a1,a2,……,as线性相关，则方程组(2)有非零解
但是（2）的解显然是（1）的解，因为前m个方程相同。所以（1）也有非零解，这说明a1,a2,……a2线性相关。矛盾。
若一组向量线性相关，则去掉某些分量后仍线性相关。这是前一命题的逆否命题，也正确。证毕！