求行列式

Question

1 1 2 -1
-2 3 4 1
3 4 1 2
-4 2 0 6
求A12-2A22+3A32-4A42等于多少
详细点谢谢

Answer 1

这类题目要用辅助行列式的方法
将原行列式的第2列元素换成 A12-2A22+3A32-4A42 中的系数
D1=
1 1 2 -1
-2 -2 4 1
3 3 1 2
-4 -4 0 6

一方面, 由于D1的1,2列成比例, 所以行列式 D1=0.
另一方面, 将D1按第2列展开得 D1=A12-2A22+3A32-4A42
所以有 A12-2A22+3A32-4A42 = D1 = 0.

又因为原行列式 D 与 D1 第2列元素的代数余子式相同
所以原行列式中仍有 A12-2A22+3A32-4A42 = 0.

Answer 2

这是线性代数中间代数余子式（或余子式）的线性表达式值的求解问题。
一般来讲，有两种方法。
方法一：如果是具体的数字行列式，并且阶数较少，那么可以硬算每个代数余子式，然后代入求解
方法二：根据行列式展开法则，观察待求式子，构造行列式求解。
比如说本题，待求的式子是第二列的代数余子式的线性表达式，所以我们在第二列上构造一个新的行列式求解就可以了。方法楼上已经给出，这里就不写了。
至于这样做的原因，是因为我们可以把行列式按第二列展开，∑Xi2*Ai2
所以如果我们取Xij取得好，是可以求解任何一道这种线性组合题目的。

Answer 3

这里的A表示的是代数余子式还是就是余子式？
我按代数余子式来做，余子式的做法类似。
思路：将所求表达式表示为一个行列式。
注意观察表达式恰好与第二列的代数余子式有关，
若将原行列式的第二列变为1 －2 3 －4，
其余元素不变，新的行列式按照第二列展开恰好是
所求表达式（若是余子式，第二列就是1 2 3 4而已）。
因此所求表达式即为
1 1 2 -1
-2 －2 4 1
3 3 1 2
-4 －4 0 6
剩下的你自己计算吧，答案应该是0
（若是余子式，答案是80)。