抛物线焦点弦长的公式如何导出的？

Question

如题所述

Answer 1

焦点弦长公式推导过程如下：

焦点弦公式2p/sina^2证明：

设抛物线为y^2=2px(p>0)，过焦点F(p/2，0)的弦直线方程为y=k(x-p/2)，直线与抛物线交于A（x1，y1)，B(x2，y2)

联立方程得k^2(x-p/2)^2=2px，

整理得k^2x^2-p(k^2+2)x+k^2p^2/4=0所以x1+x2=p(k^2+2)/k^2

由抛物线定义，AF=A到准线x=-p/2的距离=x1+p/2， BF=x2+p/2

所以AB=x1+x2+p=p(1+2/k^2+1)=2p(1+1/k^2)=2p(1+cos^2/sin^2a)=2p/sin^2a

扩展公式

抛物线：y = ax1 + bx + c （a≠0）。

就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c。

a > 0时开口向上。

a < 0时开口向下。

c = 0时抛物线经过原点。

b = 0时抛物线对称轴为y轴。

还有顶点式y = a（x-h）1 + k。

h是顶点坐标的x。

k是顶点坐标的y。

一般用于求最大值与最小值。

抛物线标准方程：y1=2px。

它表示抛物线的焦点在x的正半轴上，焦点坐标为（p/2，0） 准线方程为x=-p/2。

由于抛物线的焦点可在任意半轴，故共有标准方程y1=2px，y1=-2px，x1=2py，x1=-2py。