a°角ABC中B为顶点,D在BA上且BD为x，在BC上取一点E,F为EB中点，问（DE+EF)的最小值为多少

Question

(DE+EF)的最小值用含a和x的代数式表示 步骤不要 但要有主要的解题思路 谢谢~

Answer 1

有3种方法。
第一种，比较有技巧性，需要利用熟知结论，就是三角形内部一个点，到3顶点距离的和最小，那么设三角形三个顶点是ABC，这个点是X，当角AXB＝BXC＝CXA＝120度的时候可以取到和最小。这个证明的方法是把三角形AXB绕B旋转60度，然后得到三角形AX'B'。AXX‘是等边三角形。所以AX+BX+CX=B'X'+XX'+XC当B'X'XC共线时候取等号。所以你就知道了120度的由来。

现在这个题，你做D点关于直线BE的对称点D'
DE=D'E
EF=FB
所以DE+EF=(1/2)(ED+ED'+EB)
显然三角形BDD‘是等腰三角形，顶角是2a度。
所以当a<60的时候，还是可以在三角形内部取到的。这个时候角DEB＝120度，计算很简单，你可以参考下面的结果，或者用对三角形BDE用正弦定理一步搞定。结果x*sin(a+30度)
当a>60时候。就是BE重合了。结果是x。

第2种：
做DS垂直BE于S
不妨设x＝1，随后结果按照相似，乘x即可。
图大概先画a＝45度左右。
不妨设角DES是锐角，否则做E关于S的对称点E‘。
DE'+(1/2)BE'<DE+(1/2)BE
现在设角EDS=b
DE=sina/cosb
ES=tanb*sina
BS=cosa
DE+(1/2)BE=[(1/2)sina]*[(2-sinb)/(cosb)]+(1/2)cosa

f(b)=(2-sinb)/(cosb)
-f(b)=(2-sinb)/(0-cosb)
0=<b<90-a
[-f(b)]表示(0,2)与圆上一点(cosb,sinb)连线的斜率。
所以如果a<=60度，那么斜率小于等于负根号3，而且可以取到负根号3
f(b)>=根号3
b=30度取最值。
DE+(1/2)BE＝sin(a+30)

如果90度>=a是>60度
b=90-a取最值，这时BE重合。
DE+(1/2)BE=1

第3种方法：
设角BED＝b度
0度<b<180度
利用正弦定理
BD/sin角BED＝BE/sin角BAC=DE/sin角DBE

角BDE＝180－角BED－角DBE＝180-a-b
sin角DBE＝sin(a+b)
BE=2EF

x/sinb＝2EF/sin(a+b)
EF=(1/2)x*sin(a+b)/sinb
DE＝x*sina / sinb

EF+DE
=(x/sinb)[sina+(1/2)sin(a+b)]
=x[sina/sinb+(1/2)sina*cotb+(1/2)cosa ]
=x[sina[1/sinb+(1/2)cotb]+(1/2)cosa]

所以要解决如下这个式子
1/sinb+(1/2)cotb

1/sinb+(1/2)cotb=(1/2)(2+cosb)/(sinb)

所以要解决如下这个式子
(2+cosb)/(sinb)

所以要解决如下这个式子
(-2-cosb)/(0-sinb)
利用数形结合
思考单位圆上一点(cosb,sinb)与点(-2,0)连线的斜率的倒数。
（0度<b<180度-a，所以是圆上的一段圆弧）

如果a<＝60度
发现斜率是范围是(0, (1/3)根号3]
所以斜率的倒数的范围是[根号3，+无穷）
对应的b度数是120度
=x[sina(1/2)根号3+(1/2)cosa]
＝x*sin(a+30度)

如果90>a>60度，那么答案
=x[sina[1/sinb+(1/2)cotb]+(1/2)cosa]
其中 b=180-a
那么答案=x
就是E，B重合。结果就是x。当然这是在E必须在B，C之间的情况。

如果120>a>90度或180>a>120的情况。请自己讨论。