证明过程如下：
令f(x)=2^x/x²，(x≥4)
f'(x)=[(ln2)·2^x·x²-2x·2^x]/(x²)²
=[(ln2)·x-2]·x·2^x/x⁴
2^x恒>0。
x>4>0，x⁴>0
ln2>ln√e=½，x≥4，(ln2)x>2，(ln2)x-2>0
f'(x)>0
f(4)=2⁴/4²=1
x>4时，f(x)>f(4)，f(x)>1
2^x/x²>1
2^x>x²
扩展资料：
不等式的证明方法
（1）比较法：作差比较。
（2）反证法：正难则反。
（3）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。
（4）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元和代数换元。
重要不等式：
1、切比雪夫不等式，切比雪夫不等式有两个：
⑴设存在数列a1,a2,a3.....an和b1,b2,b3......bn满足a1≤a2≤a3≤.....≤an和b1≤b2≤b3≤......≤bn
那么，∑aibi≥（1/n）（∑ai）（∑bi）。
⑵设存在数列a1,a2,a3,.....,an和b1,b2,b3,......,bn满足a1≤a2≤a3≤.....≤an和b1≥b2≥b3≥......≥bn
那么，∑aibi≤（1/n）（∑ai）（∑bi）。
2、琴生不等式
设f(x）为上凸函数，则f[(x1+x2+……+xn)/n]≥[f(x1）+f(x2）+……+f(xn)]/n，称为琴生不等式（幂平均）。
加权形式为：
f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]≥a1f(x1）+a2f(x2)+……+anf(xn)，其中：
ai≥0(i=1,2，……，n)，且a1+a2+……+an=1。