怎样找极大线性无关组？

Question

如题所述

Answer 1

1、极大线性无关组（maximal linearly independent system）是线性空间的基对向量集的推广。

其定义为：设S是一个n维向量组，α1,α2,...αr 是S的一个部分组，如果满足

(1) α1,α2,...αr 线性无关；

(2) 向量组S中每一个向量均可由此部分组线性表示，那么α1,α2,...αr 称为向量组S的一个极大线性无关组，或极大无关组。

2、基本性质

（1）只含零向量的向量组没有极大无关组；

（2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身；

（3）极大线性无关组对于每个向量组来说并不唯一，但是每个向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量；

（4）齐次方程组的解向量的极大无关组为基础解系；

（5）任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价；

（6）一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的；

（7）若一个向量组中的每个向量都能用另一个向量组中的向量线性表出，则前者极大线性无关向量组的向量个数小于或等于后者。

3、寻找方法见下图：

右边这个矩阵就是行初等变换后化成的阶梯形矩阵。数一数，一共有4个阶梯，故而原向量组的秩是4. 它的一个极大无关组可以选{第1，3，4，5个向量}。

扩展资料：

这样找法的理论依据：

1、变成矩阵，是为了用矩阵的操作

2、回忆矩阵的列秩的定义，你就能明白，这个矩阵的秩，就是原向量组的秩。

3、对矩阵进行初等变换，不改变矩阵的秩。

4、对矩阵进行行初等变换，不改变列向量的线性相关性。所以要对矩阵进行行初等变换，这样阶梯化后的新矩阵的列的线性相关性，与原矩阵的列的相关性，就在列的位置上不会变化。

例如，如果（行初等变换）阶梯化后的新矩阵，第1，3，5列是线性无关的，那么原来矩阵的第1，3，5列也是线性无关的，对应的，原向量组的第1，3，5个向量也是线性无关的。