第1个回答 2012-05-05
设整数边三角形边长和为S,那么可构成多少个钝角△、Rt△和锐角△?
对于直角三角形,只需解方程
a+b+c=S 且 a²+b²=c² 便得到三边的长度a,b,c依次为(用a和S表示)
a
S- S²/[2(S-a)]
-a+ S²/[2(S-a)]
于是满足题意的三角形必须有:S²/[2(S-a)]为整数
易知和S必须为偶数,考察S²/2的因子,拆分之:
S²/2=u1×w1=u2×w2=…=uk×wk (k为下标)
这里ui<wi (i为下标,i=1,2,...,k)
注意到2≤a<(1- 0.5×√2)S
于是所求Rt△的个数即落在区间 [ 1+ [S/√2] , S-2 ] 内的 wk 的个数
这里中括号内的中括号表示取整,即[x]表示不大于x的最大整数
但是虽然能得到取值范围,关于钝角△个数还是没能得到准确解答,请老师同学指教
对钝角△,应有:
S=a+b+c
设a≤b<c
S/3<(√2-1)S< ( 2a² + S² - 2aS ) / [ 2(S-a) ] < c < S/2
且 2≤a< (1-√2/2)S
对于任意S≥8, c 取最大值时只要a,b在上述范围内,都是满足的
回复1.
钝角三角形S=a+b+c, a²+b²<c²
c为最长边。
只要检验上述条件是否就能够确定?
1)5.12.13和5.17.18
2)3、4、4和3、3、5和2、4、5
3)S=1/2ab*sin60恒不为整。所以不可能