定义：三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形”． 数学学习小组的同学从32根等长的火柴棒（每根长

Question

定义：三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形”．
数学学习小组的同学从32根等长的火柴棒（每根长度记为1个单位）中取出若干根，首尾依次相接组成三角形，进行探究活动．
小亮用12根火柴棒，摆成如图所示的“整数三角形”；
小颖分别用24根和30根火柴棒摆出直角“整数三角形”；
小辉受到小亮、小颖的启发，分别摆出三个不同的等腰“整数三角形”．
（1）请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图；

Answer 1

（2）最简单的直角三角形边长是3、4、5，边长之和为12。小颖摆出的是直角的整数三角形，而且三边之和为24和30，所以小辉的第一个直角三角形的边长是6、8、10。第二个是5、12、13。
（3）把两个相等的直角三角形的高重合在一起组成了一个等腰三角形，而且面积和是直角三角形的2倍。所以在边长之和小于32的情况下，把边长为3、4、5和6、8、10直接三角形按直角边3、4、6重合，组成了边长为5、5、6（3+3）和5、5、8（4+4）和10、10、12（6+6）的等腰三角形。以8为重合边不行，因为组合起来的边长为10、10、16（8+8），大于三十二。

Answer 2

设整数边三角形边长和为S，那么可构成多少个钝角△、Rt△和锐角△？

对于直角三角形，只需解方程

a+b+c=S 且 a²+b²=c² 便得到三边的长度a，b，c依次为（用a和S表示）

a

S- S²/[2(S-a)]

-a+ S²/[2(S-a)]

于是满足题意的三角形必须有：S²/[2(S-a)]为整数

易知和S必须为偶数，考察S²/2的因子，拆分之：

S²/2=u1×w1=u2×w2=…=uk×wk （k为下标）

这里ui<wi （i为下标，i=1,2,...,k）

注意到2≤a<（1- 0.5×√2）S

于是所求Rt△的个数即落在区间 [ 1+ [S/√2] , S-2 ] 内的 wk 的个数

这里中括号内的中括号表示取整，即[x]表示不大于x的最大整数

但是虽然能得到取值范围，关于钝角△个数还是没能得到准确解答，请老师同学指教

对钝角△，应有：

S=a+b+c

设a≤b<c

S/3<(√2-1)S< ( 2a² + S² - 2aS ) / [ 2(S-a) ] < c < S/2

且 2≤a< (1-√2/2)S

对于任意S≥8, c 取最大值时只要a,b在上述范围内，都是满足的

回复1.
钝角三角形S=a+b+c, a²+b²＜c²

c为最长边。

只要检验上述条件是否就能够确定？

1)5.12.13和5.17.18

2）3、4、4和3、3、5和2、4、5

3）S=1/2ab*sin60恒不为整。所以不可能

Answer 3

小亮的三边：3、4、5
小颖的三边：第一个6、8、10，第二个5、12、13
小辉的三边：第一个5、5、6，第二个5、5、8，第三个10、10、12本回答被网友采纳

Answer 4

小颖：6.8.10 和 5.12.13
小辉：9.9.1. 10.10.10或5.5.7

Answer 5

应该再补充一个问题，能从32根火柴中取出一些组成一个不是直角三角形，也不是等腰三角形的整数三角形吗？说明理由。