过抛物线的焦点f作动弦ab，m是ab的中点则m到直线的最短距离为多少

Question

如题所述

Answer 1

设抛物线方程为y²=2px,
设动弦ab直线方程为y=k(x-p/2)
代入抛物线方程得k²(x-p/2)²=2px,
即k²x²-(k²p+2p)x+k²p²/4=0
x=[k²p+2p±2√(k²p²+p²)/2k²
y=[p±√(k²p²+p²)]/k
∴m[(k²p+2p)/k²,2p/k]
由点到直线的距离公式可以得到距离关于ab直线斜率k的函数，求极值即可。

Answer 2

用相关点法。设m(x0,y0),a(x1,y1),b(x2,y2),由直线过焦点可设（免去讨论斜率存在与否）此直线x=ty+1,与抛物线联解得y1+y2=4t,再代入上述直线得x1+x2=4t＾2＋2，又因为x0=x1+x2/2,y0=y1+y2/2，所以x0=2t＾2+1,y0=2t，结合点到直线的距离公式配方得距离d＝[2(t-0.5)＾2+0.5]/根号2，t属于r，所以当t=0.5时d有最小值:(根号2)/4。欢迎追问！