非直角三角形面积计算与关系公式推导？

Question

如图一所示：已知O点为斜边L的中点，L与底部线的夹角为60°，上下两条线高度为H； 求：（1）三角形面积S1；（2）当角度逐渐降低，所形成的三角形面积与角度变化关系（图二）；

Answer 1

解：（1）做两条辅助线OE、CF。

△AOB与△DOC是全等的，容易证明。所以：S1=S1'。

同时很容易看出：AB=DC=FG。

根据45°等腰直角三角形Rt△AGD的关系，AG=DG=H。

根据60°直角三角形RtBFC的关系，BF=BC/2=L/2。

所以：AB=FG=（AG-BF）/2=（H-L/2）/2。

△AOB以AB去为底边的高为OE：OE=DG/2=H/2。

所以：S1=S1'=AB×OE/2=[（H-L/2）/2]×（H/2）/2=（2H²-HL）/16。

实质上，本题目中给出L、H两个条件之间是存在关系的，因为：sin60°=H/L，所以：H=（√3/2）L，2H²=2×H×（√3/2）L=√3HL。

于是：S1=（√3-1）HL/16。也可能出现其他的表达式，关键看结果使用哪些字母来表示。也可以只出现H、或者只出现L，都是可能的。

（2）随着角度不断减小，AB的值不断增大，但OE的值不会改变。

因此所形成的的三角形面积会逐渐增大。

此时，下面线段总长度为：H/tanθ，所以三角形底边长度为：

（H/tanθ-L/2）/2。

所以：S1=[（H/tanθ-L/2）/2]×（H/2）/2=（H²/tanθ-HL/2）/8。

同样也可以写作：S1=（√3/tanθ-1）HL/16。

因为0°<θ<60°，且θ逐步减小，则tanθ逐渐减小，因此S1逐渐增大。

Answer 2

(1) S1 = (1/2)(L/2)(√2H/2)sin15° = (√2HL/8)sin(60°-45°)
= (√2HL/8)(sin60°cos45°-cos60°sin45°) = (√2HL/8)(√6-√2)/4
= (√2HL/8)(√6-√2)/4 = (√3-1)HL/16

(2) S1 = (1/2)(L/2)(√2H/2)sinθ = (√2HL/8)sin(60°-θ)
θ (0° < θ < 60°) 变小， 面积 S1 变大。