为什么定积分更难?
追答定积分有更多公式:
第一:用微积分基本公式,∫(a→b) f(x) dx = F(b) - F(a)
这里F(x)是f(x)的原函数,即先求出不定积分,然后再代入上限和下限
这里已经包含了所有不定积分的求解技巧。
第二:假变量,∫(a→b) f(x) =dx = ∫(a→b) f(u) du = ∫(a→b) f(z) dz
只要上限和下限在不变的情况下,变量可随意更换。
第三:∫(a→a) f(x) dx = 0,当下限和上限相同时,包围的面积等于0
第四:分裂性:∫(a→b) f(x) dx = ∫(a→c) f(x) dx + ∫(c→b) f(x) dx,c∈[a,b]
第五:奇偶性,若f(x)是奇函数,则∫(- a→a) f(x) dx = 0,f(- x) = - f(x)
若f(x)是偶函数,则∫(- a→a) f(x) dx = 2∫(0→a) f(x) dx,f(- x) = f(x)
第六:周期性,对于周期为T的函数,∫(0→nT) f(x) dx = n∫(0→T) f(x) dx,n为正整数
第七:换元积分法,注意上下限有转变的。
若u = g(x),则∫(a→b) f(g(x)) * g'(x) dx = ∫(g(a)→g(b)) f(u) du
第八:分部积分法,∫(a→b) f(x) d[g(x)] = [f(x)g(x)] |(a→b) - ∫(a→b) g(x) d[f(x)]
第九:用定义法:∫(a→b) f(x) dx = lim(Δx→0) Σ(k=1→n) [(b - a)/n]f[a + (b - a)/n],或用级数解
第十:瑕积分,若上限或下限或两者都是无穷时,有
∫(-∞→b) f(x) dx = lim(a→-∞) ∫(a→b) f(x) dx
∫(a→+∞) f(x) dx = lim(b→+∞) ∫(a→b) f(x) dx
∫(-∞→+∞) f(x) dx = ∫(-∞→c) f(x) dx + ∫(c→+∞) f(x) dx
= lim(a→-∞) ∫(a→c) f(x) dx + lim(b→+∞) ∫(c→b) f(x) dx
※瑕积分可能不存在,即发散。
第十一:借助参数,求导。例如∫(0→π) xsinx/(5 - 4cosx) dx,令f(t) = ln(5 - tcosx)
第十二:借助、扩充到二重积分。例如∫(0→+∞) e^(- x²) dx
第十三:过程中可能会化为超越函数比较方便,例如Gamma函数、Beta函数、椭圆函数等。
第十四:某些定积分不能用普通方法解出,需用特殊方法,例如扩充到复平面,用留数定理。
或者用拉普拉斯变换(Laplace Transform)等,当然要符合一定的要求才能用。定积分的几何意义就是曲线包围的面积,除了不存在的瑕积分外,即使原函数不能求得,也一定有答案。
哇,看来我得加倍努力了!谢谢