f(x+1)奇偶性问题，几种做法出来几个答案，但都不是老师的答案(老师答案是x>1)

Question

已知函数f(x+1)是定义在R上的奇函数，若对任意x1、x2都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0恒成立，则f(1-x)<0的解集为( )
【我的几种解法，但出来几个答案】
《解》①∵当x=0时，由奇偶性定义，得f(0+1)=-f(-0+1), ∴f(1)=0
②设x1>x2得：f(x1)<f(x2),即f(x)为减函数
③∴x<1时,f(x)>0；x>1时,f(x)<0
<解法1>
∵f(x+1)是定义在R上的奇函数
④∴f(x+1)=-f(-x+1)=-f(1-x)
⑤∴f(1-x)的图像是f(x+1)以x轴为对称轴反转得到
⑥∴f(1-x)的解集为x<1
<解法2>
∵f(x+1)是定义在R上的奇函数
④∴f(x+1)=-f(-x+1)=-f(1-x)
⑦∵f(1-x)<0，即f(x+1)>0=f(1)且f(x)为减函数,
⑧∴x+1<1,x<0
<解法3>
∵f(x+1)是定义在R上的奇函数
④∴f(x+1)=-f(-x+1)=-f(1-x)>0 [∵f(1-x)<0]
⑨且有f(0)=0,即x=-1时，f(x+1)=0
⑩∴f(1-x)=-f(x+1)<0,即f(x+1)>0=f(0)
⑾∵f(x)为减函数
⑿∴x+1<0，即x<-1【我的问题：上述各步骤中，哪些是错的？正确的答案及过程应该是如何？】
【不小心 点击了2次“提交问题”=共有100分了，回答者请复制答案到2个问题下面，以方便我选择“最佳答案”并能送出这100分】

Answer 1

以具体例子查验各步骤。

设f(x+1)=-x 【自查：f(x+1)=-x,是奇函数、单调减=>符合题意】

∵f(x+1)=-x, 设m=x+1,则x=m-1。∴f(m)=-(m-1)=-m+1,即f(x)=-x+1  【对称点是(1,0)=>①正确】

再设n=1-x，则有f(1-x)=f(n)=-n+1=-(1-x)+1=x

∴f(1-x)的解集为x<0 【⑧的答案正确】

 

按上述步骤[以f(x+1)=x]为查验工具]查验楼主解法如下：

《解》①∵当x=0时，由奇偶性定义，得

f(0+1)=-f(-0+1), ∴f(1)=0

<解法1>

∵f(x+1)是定义在R上的奇函数

④∴f(x+1)=-f(-x+1)=-f(1-x)             

⑤∴f(1-x)的图像是f(x+1)以x轴为对称轴反转得到【⑤错,错因：将f(1-x)与f(x)误认为是同一图像】

【说明】      f(x+1)=-x=-(x+1)+1等价的图像是f(x)=-x+1 

                    f(1-x)= x= -(1-x)+1等价的图像是f(x)= x   

                    可见，f(x)=x沿x轴反转后再左移1个单位才得f(x)=-x+1

                    ⑥∴f(1-x)<0的解集为x<0

<解法2>        【结果正确】

∵f(x+1)是定义在R上的奇函数

④∴f(x+1)=-f(-x+1)=-f(1-x)

⑦∵f(1-x)<0，即f(x+1)>0=f(1)且f(x)为减函数,

⑧∴x+1<1,x<0

<解法3>

∵f(x+1)是定义在R上的奇函数

④∴f(x+1)=-f(-x+1)=-f(1-x)>0 [∵f(1-x)<0]

⑨且有f(0)=0,即x=-1时，f(x+1)=0【⑨错,错因：将f(x+1)为奇函数误认为f(x)就一定是奇函数而误用f(0)=0】

【正确是】       ①∵当x=0时，由奇偶性定义，得f(0+1)=-f(-0+1), ∴f(1)=0

                        ②设x1>x2得：f(x1)<f(x2),即f(x)为减函数

                        ③∴x<1时,f(x)>0；x>1时,f(x)<0

⑩∴f(1-x)=f(-x+1)=-f(x+1)<0,即f(x+1)>0=f(0)

⑾∵f(x)为减函数

⑿∴x+1<1，即x<0

【以上是按你的思路并修改错处得出的答案】

【以下是另一网友的作答,我也是跟他学会的】

正确解题方法及过程：

解析：∵函数f(x+1)是定义在R上的奇函数，

∴f(-x+1)=-f(x+1)==> f(0+1)=-f(-0+1), ∴f(1)=0

又，对任意x1、x2都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0恒成立

∴函数f(x)关于点(1,0)中心对称，在定义域内单调减；

函数y=f(x)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是f(x)+f(2a-x)=2b

∴f(x)满足f(x)=-f(2-x)

则f(1-x)=-f(2-(1-x))=-f(1+x)

∵函数f(x+1)奇函数，单调减，∴f(1-x)=-f(1+x)奇函数，单调增；∴f(1-x)<0的解集为x<0 

参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/496983266.html?quesup2&sort=6#

Answer 2

已知函数f(x+1)是定义在R上的奇函数，若对任意x1、x2都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0恒成立，则f(1-x)<0的解集为( )
【我的几种解法，但出来几个答案】
《解》①∵当x=0时，由奇偶性定义，得f(0+1)=-f(-0+1), ∴f(1)=0
②设x1>x2得：f(x1)<f(x2),即f(x)为减函数
③∴x<1时,f(x)>0；x>1时,f(x)<0
<解法1>
∵f(x+1)是定义在R上的奇函数
④∴f(x+1)=-f(-x+1)=-f(1-x)
⑤∴f(1-x)的图像是f(x+1)以x轴为对称轴反转得到 （应该是以y轴,此处错了）
⑥∴f(1-x)的解集为x<1
<解法2>
∵f(x+1)是定义在R上的奇函数
④∴f(x+1)=-f(-x+1)=-f(1-x)
⑦∵f(1-x)<0，即f(x+1)>0=f(1)且f(x)为减函数, （0=f(0),此处错了）
⑧∴x+1<1,x<0
<解法3>
∵f(x+1)是定义在R上的奇函数
④∴f(x+1)=-f(-x+1)=-f(1-x)>0 [∵f(1-x)<0]
⑨且有f(0)=0,即x=-1时，f(x+1)=0
⑩∴f(1-x)=-f(x+1)<0,即f(x+1)>0=f(0)
⑾∵f(x)为减函数
⑿∴x+1<0，即x<-1【我的问题：上述各步骤中，哪些是错的？正确的答案及过程应该是如何？】 （这个是对的）追问

④∴f(x+1)=-f(-x+1)=-f(1-x)
⑤∴f(1-x)的图像是f(x+1)以x轴为对称轴反转得到 （应该是以y轴,此处错了）

简化上述两步为：若g(x)=f(x+1)，h(x)=f(1-x),则g(x)=-h(x)
在x-y直角坐标系，由g(x)=-h(x)判断它们是以x轴为对称轴，错了？？

追答

上面los0613666los的回答有误，请参照满意回答。