①先求出X、Y的边缘分布密度函数。根据定义，有fX(x)=∫(0,x)f(x,y)dy=4x³，0<x<1；fX(x)=0，x为其它。
同理，fY(y)=∫(y,1)f(x,y)dy=4y(1-y²)，0<y<1；fY(y)=0，y为其它。
②求期望值。根据定义，有E(X)=∫(0,1)xfX(x)dx=4/5。E(Y)=∫(0,1)yfY(y)dy=(0,1)4y²(1-y²)dy=8/15。
E(XY)=∫(0,1)∫(0,x)xyf(x,y)dxdy=∫(0,1)dx∫(0,x)xyf(x,y)dy=8∫(0,1)x²dx∫(0,x)y²dy=(8/3)∫(0,1)(x^5)dx=4/9。
供参考。
同理，fY(y)=∫(y,1)f(x,y)dy=4y(1-y²)，0<y<1；fY(y)=0，y为其它。
②求期望值。根据定义，有E(X)=∫(0,1)xfX(x)dx=4/5。E(Y)=∫(0,1)yfY(y)dy=(0,1)4y²(1-y²)dy=8/15。
E(XY)=∫(0,1)∫(0,x)xyf(x,y)dxdy=∫(0,1)dx∫(0,x)xyf(x,y)dy=8∫(0,1)x²dx∫(0,x)y²dy=(8/3)∫(0,1)(x^5)dx=4/9。
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