证明数列极限存在并求值

Question

如题所述

Answer 1

利用极限存在准则，单调有界数列必有极限。先证有界
设Xn+1=根号2+Xn,x1=根号2n=1,x1=根号2<2,Xn+1=根号2+Xn<根号2+2=2，故xn<2，数列有界。xn+1-xn=根号2+xn
-xn=1(xn-2)(xn+1)/(根号2+xn+xn)>0,有界。数列有极限，设极限为A,对Xn+1=根号2+Xn两边平方，再两边同时取极限，得极限
xn+1^2
=极限(2+xn),A^2=2+A,A1=2,A2=-1(舍去)，极限为2