数学奥赛题：给定整数n> 1，设a1,a2,⋯,an是互不相同的非负实数，记集合A={ai+aj|1≤i ≤ j

Question

给定整数n> 1，设a1,a2,⋯,an是互不相同的非负实数，记集合A={ai+aj|1≤i ≤ j ≤n},B={aiaj|1≤i ≤ j ≤n}. 求|A|/|B|的最小值。这里|X|表示集合X中元素的个数。

Answer 1

解：1.分析题意可知，题目求|A|/|B|的最小值，既是当|A|取最小值，|B|取最大值。
要使|A|取最小值，就是A中的两数之和的值最多的重合，即a1+a2=a3+a4=a5+a6+....这样的等式越多，A的集合数就越少。同理B就是没有任何一个重合值，此时B的集合数最多。

2. 先给你分析一个排列组合与等差公式的联系：以A为例，假设n=6，便于书写）
a1、a2、a3、a4、a5、a6
先分析A的组合可能情况：那么有
a1+a2、a1+a3、a1+a4、a1+a5、a1+a6；（共5个）
a2+a3、a2+a4、a2+a5、a2+a6；（4个）
a3+a4、a3+a5、a3+a6；（3个）
a4+a5、a4+a6；（2个）
a5+a6；（1个）
可能的情况是5+4+3+2+1 （用于理解） 当取n时，即为（n-1）+（n-2）+...+1，N=n(n-1)/2
用排列组合，既是C （n，2）；n个中任选2个组合。结果一样是N=n(n-1)/2(书上有公式)
怎样使ai+aj=am+an的等式最多而又不会产生等式，违背题意“任意两数都不相等”
换一种写法：
a1+a2；
a1+a3、 a2+a3；
a1+a4、 a2+a5、a3+a6；
a1+a5、 a2+a6、a3+a4、a4+a5；
a1+a6、 a2+a4、a3+a5 a4+a6 、a5+a6 ；
3. 怎样使ai+aj=am+an的等式最多而又不会产生等式，违背题意“任意两数都不相等””这个条件得来，所以等式中i、j、m、n、....、任意两数不能相同，只能是1到n的数。
所以第三行到第六行，第一列到第3列的正方形方框满足条件。（但有重复）
当a1+a4=a2+a5；a1+a5=a2+a4；得到2a2=a4+a5，以此类推，可以知道an为等差数列，设等差为d，所以他们得到的和从小到大排列为等差数列。（a1+a2、a2+a3、.......）等差也为d。
和的最小值为a1+a1+d ；最大值为a1+（n-2）d+a1+(n-1)d.
中间共有【a1+（n-2）d+a1+(n-1)d】-【a1+a1+d】+1个数，即2n-3
4.B是同样的情况，只是+变成了乘，多了一个ai²，此时最多就简单了N=n(n-1)/2+n
|A|/|B|=（2n-3）/【n(n-1)/2+n】=(4N-6)/(n²+n)

Answer 2

首先：假设an中都是正实数 包含0稍后证明
那么 |A|的最小值=2n-3 这是因为：
为方便起见，将an做一个排序 即 ai>aj>0 （ i>j）
这样 a1+a1<a1+a2<……<a1+an<a2+an<……<an-1+an<an+an 这里共有2n-1个数
而且|A|=2n-1 可以取到（等差列就能满足）
|B|的最大值就是每两个数的成绩都不相同
|B|=n(n+1)/2 所以 |A|/|B|的最小值就是（4n-2）/（n^2+n)

下面说明数列中an=0的情况
我们设当数列an有n个数时 An=|A|的最小值 Bn=|B|的最大值
那么 An=An-1+n=3n-3 Bn=Bn-1+1=n(n-1)/2+1
那么 |A|/|B|的最小值=（3n-3）/(n)(n-1)/2+1)
显然这样（3n-3）/(n)(n-1)/2+1) > （4n-2）/（n^2+n)

所以综上 |A|/|B|的最小值就是（4n-6）/（n^2-n)， 而且这样的数列是存在的一个等差数列，乘积各不相同

Answer 3

解：显然，当且仅当ai=(i-1)d或者ai=(n-i)d，i=1，2，……，n时，|A|最小。其中d>0。（这是因为：首先必须是等差数列，才能保证|A|尽可能小；其次，首数或尾数为0，0的2倍还是0，且0加上任意数还是任意数，才能保证|A|尽可能小）
则
ai+aj（1≤i ≤ j ≤n）的最小值取到0，最大值取到2(n-1)d，且中间的间隔只是d的整数倍，因此|A|的最小值是2(n-1)+1=2n-1
B={aiaj|1≤i ≤ j ≤n}. 要想|B|尽可能大，首先，ai、aj均不能为0或1；其次，任何两个ai、aj(i≠j)均互质。那么，最容易想到的一个数列就是从小到大顺次排列的质数列：2，3，5，7，11，……，pn。pn表示从小到大顺次排列的第n个质数。
显然，|B|=C(n.2)+n=n(n+1)/2
故|A|/|B|的最小值为(2n-1)/[n(n+1)/2]=2(2n-1)/[n(n+1)]
不明白请追问。本回答被提问者和网友采纳

Answer 4

要|A|/|B|最小，即|A|要小|B|要大。
（1）|A|要小即重复的要多，如：1+6=2+5=3+4

当{an}为等差数列时重复会最多，我们视{an}类似于{1,2,3，……，n},ai+aj会是连续的整数，
且最小为1+2=3，最大为(n-1)+n,一共会有3+4+5+……+[(n-1)+n]=2n²-n-3

当{an}为等差数列时,A的个数也就类似的有2n²-n-3个

（2）|B|要小即尽量不重复

当{an}为等差数列时，可以使{an}不重复，此时B有Cn²=[n(n+1)]/2个

∴ 此时|A|/|B|=（2n²-n-3）/ {[n(n+1)]/2}=(4n-6)/n= 4-6/n

由于n> 1，4-6/n≥4-3=1