数列收敛的定义:
若数列{Xn}的极限为a,等价于
对于任意小的量ε,一定存在这样的正整数N,对于任意的n>N 有|Xn-a|<ε
数列收敛的唯一性,即收敛点唯一:
用反证法,若数列{Xn}有两个收敛点a,b,则设d=|a-b|
由数列收敛的定义可以知道,一定存在这样的N,当n>N时,有
|Xn-a|<d/2 |Xn-b|<d/2 同时满足
而d=|a-b|=|(a-Xn)-(b-Xn)|≤|a-Xn|+|b-Xn|<d
也就是退出了d<d的矛盾 所以假设错误,数列收敛点只能唯一
追问此处聚点指对所有E>0,对所有N,存在n>N,|an-a|<E,(a为极限)