这个线性代数题怎么做？

Question

设三阶实对称矩阵的秩为2，入1=入2=6是A的二重特征值。若a1=(1,1,0)^T,a2=(2,1,1)^T,a3=(-1,2,-3)^T，都是A属于特征值6的特征向量。
（1）求A的另一特征值和特征向量
（2）求矩阵A

Answer 1

实对称矩阵A一定能相似对角化，即存在可逆矩阵p,使得P逆AP =diag(λ1，λ2，λ3).因为其秩为2，所以对角阵为diag(6,6,0)，即其另一特征值为0，由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，可设属于特征值0的特征向量为α=(x1,x2,,x3)^T,故α1α^T=0,α2α^T=0，可解得α=(-1,1,1),然后可以构造矩阵P=(α1,α2,α)，使得P逆AP=diag(6,6,0)，A=PAP逆，如果感觉求逆矩阵麻烦可以先对α1,α2正交化，得到β1、β2，再对β1、β2、α单位化，求得正交阵P1,A=P1AP1^T,或者由A(α1,α2,α)=(6α1,6α2,0),从而直接得A=)=(6α1,6α2,0)(α1,α2,α)逆

Answer 2

三阶实对称矩阵的秩为2,还有一个特征值为0，（因入1=入2=6）a3=a1-a2=（-1,0，-1）就是0的特征向量。记P=（a1，a2，a3），AP=Pdiag(6,6,0)z自己去算追问

不对啊 0的特征向量等于（-1，1，1）^T.A矩阵怎么求的呢

追答

是搞错了（搞成齐次与非齐次方程解关系了）0的特征向量等于（-1，1，1）^T＝a,P=（a1，a2，a）,求P的逆Q，则QAP=diag(6,6,0)
A=Pdiag(6,6,0)Q