设连续随机变量X的分布函数F(x),且数学期望存在,证明:E(X)=∫∞0[1-F(x)]dx-∫0-∞F(x)dx

Question

求详细解答~

Answer 1

证明：右边=∫[0→+∞] [1-F(x)]dx - ∫[-∞→0] F(x)dx
下面用分部积分
=x[1-F(x)] |[0→+∞] + ∫[0→+∞] xF'(x)dx - xF(x)|[-∞→0] + ∫[-∞→0] xF'(x)dx
=0 + ∫[0→+∞] xf(x) dx - 0 + ∫[-∞→0] xf(x) dx
=∫[-∞→+∞] xf(x) dx
=E(x)=左边

希望可以帮到你，不明白可以追问，如果解决了问题，请点下面的"选为满意回答"按钮，谢谢。

Answer 2

忘了分部积分了吧。