已知实数,x、y、z满足x+y+z=1,求x²+4y²+9z²的最小值

Question

如题所述

Answer 1

　　解：
【法一】
　　利用柯西不等式得：
　　[1²+(1/2)²+(1/3)²][x²+(2y)²+(3z)²]≥(x+y+z)²
　　即 49/36 (x²+4y²+9z²)≥(x+y+z)²
　　x²+4y²+9z² ≥36(x+y+z)²/49
　　将x+y+z=1代入上式得：
　　x²+4y²+9z²≥36×1/49=36/49

　　答案：x²+4y²+9z²的最小值36/49
【法二】
构造向量a=(1，1/2，1/3)
b=(x，2y，3z)
根据向量数量积性质
a*b≤|a||b|
即(1,1/2,1/3)(x，2y，3z)≤√(1+1/2²+1/3²)×√(x²+4y²+9z²)
x+y+z≤√(49/36) ×√(x²+4y²+9z²)
1≤√(49/36) ×√(x²+4y²+9z²)
两边同时平方得：
1≤49/36 (x²+4y²+9z²)
所以x²+4y²+9z²≥36/49
故最小值为36/49

Answer 2

我认为x、y、z都是
±1，反正不管它们是＋1还是－1，后面有个²的结果都为1.
则x²+4y²+9z²
=1+4×1+9×1
=13

Answer 3

dkwoiegnognkhjkan