复合函数的定义，定义域，值域，单调性的求法

Question

看了您对恒成立的解答，很有帮助。请您解答下有关复合函数的问题，谢谢

Answer 1

解：定义：
如果y=f(t)（不妨称作“母函数”），t=g(x) （不妨称作“子函数”），则：y=f(g(x))就称为复合函数.
要了解和熟悉复合函数及相关性质，必须对基本函数解析式及性质相当熟练
如：基本函数有二次函数、指数函数、对数函数、幂函数（包括一次函数、反比例函数）、三角函数
如：y=log(m)[ax²+bx+c]（底数m）可以看做由y=log(m)[t]（对数函数的表达式）与t= ax²+bx+c(二次函数的解析式)复合而成

要确定复合函数的定义域，先要根据母函数y=f(t)的定义域（即对t的限制，即子函数的值域），可以求出g(x)的取值范围；然后根据g(x)的取值范围，再求x的取值范围，即：复合函数的定义域
如：y=log(4)[2x²-3x-2]，对于y=log(4)[t]，t必须＞0，故：t=2x²-3x-2必须＞0,故：x＞2或x＜-1/2

要确定复合函数的值域，先根据上面定义域的求法，求出定义域后分步讨论
即：根据不同的定义域求出子函数的值域，注意：子函数的值域即母函数的定义域，然后再求复合函数的值域
如：y=log(4)[2x²-3x-2]，对于y=log(4)[t]，t必须＞0，故：t=2x²-3x-2必须＞0,故：x＞2或x＜-1/2
当x＞2或x＜-1/2时，t＞0，故：y∈R
再如：如：y=log(4)[x²-4x+5]，因为t=x²-4x+5=（x-2）²+1≥1，故：y≥0

单调性根据“增增得增，减减得增，增减得减”来判断，即：母函数、子函数同为增函数，则复合函数为增函数，子函数的递增区间即为复合函数的递增区间；母函数、子函数同为减函数，则复合函数为增函数，子函数的递减区间即为复合函数的递增区间；母函数、子函数中为一个增函数、一个为减函数，则复合函数为减函数，子函数的区间即为复合函数的递减区间；
如：y=log(4)[2x²-3x-2]，对于y=log(4)[t]，t必须＞0，故：t=2x²-3x-2必须＞0,故：x＞2或x＜-1/2
当x＞2时，子函数t=2x²-3x-2单调递增；此时t＞0;而当t＞0时，y=log(4)[t] 单调递增。即：x＞2时，y=log(4)[2x²-3x-2] 单调递增。即：y=log(4)[2x²-3x-2] 单调递增为(2，+∞)
当＜-1/2时，子函数t=2x²-3x-2单调递减；此时t＞0;而当t＞0时，y=log(4)[t] 单调递增。即：x＞2时，y=log(4)[2x²-3x-2] 单调递减。即：y=log(4)[2x²-3x-2] 单调递减为(-∞，-1/2)

希望对你有所帮助！来自：求助得到的回答

Answer 2

复合函数
定义
设 y = f ( u ）， u = g ( x ），当 x 在 u = g ( x ）的 定义域 Dg中变化时， u = g ( x ）的值在 y = f ( u ）的定义域Df内变化，因此变量 x 与 y 之间通过变量 u 形成的一种 函数关系 ，记为： y = f ( u )= f [ g ( x )]称为复合函数(composite function)，其中 x 称为 自变量 ,u为中间变量,y为 因变量 （即函数）。

定义域
若函数 y = f ( u ）的定义域是B, u = g ( x ）的定义域是A,则复合函数 y = f [ g ( x )]的定义域是
D={ x | x ∈A,且 g ( x ）∈B} 综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。

增减性
依y=f(u)，μ=φ(x)的增减性决定。即“增增得增，减减得增，增减得减”，可以简化为“同增异减”，常用方法：求导

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