微积分证明题求解 假设f与f'在【0,正无穷)可导 f(0)=f'(0)=0, 在x>0时f''(x)>0。 请证明f(x)>0在x>0

原题为英文班本:
suppose that both f and f' are differentiable on [0,+8), f(0)=f'(0)=0, and f''(x)>0for all x>0.
Prove that f(x)>0 for all x>0

三日内,请答案非常完善。谢谢啦
另外一道题
用中间值定理(mean value theorem)证明:
e^x>1+x+x^2/2+...x^n/n!, for all x>0 and 正整数n. (在n上面用归纳法induction)

使用函数的单调性证明:[a,b] 上 f'(x) >= 0,则f(x)在[a,b]上单调递增,反之递减。
∵ x > 0时f''(x) > 0,即f'(x)在 [0,+∞) 单调递增
∴ f'(x) >= f'(0),又已知 f'(0) = 0,故f'(x) >= 0,即f(x)在 [0,+∞) 单调递增
∴ 对于x>0,f(x) > f(0) = 0
得证追问

谢谢了,答的很清楚,还有一道题不知道能不能帮忙做一下,实在麻烦了:

用中值定理(mean value theorem)证明:
e^x>1+x+x^2/2+...x^n/n!, for all x>0 and 正整数n. (在n上面用归纳法induction)

追答

追问

为什么f(n-1)(x)>0成立呢?

追答

这是用数学归纳法啊,假设成立再推下一步

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