请问如何判断非正定矩阵？

Question

我们知道对于正定矩阵，其特征值都为非负。或者其1阶子式，2阶子式，...，n阶子式值都大于零。
那么，如果给了一个矩阵为非正定矩阵。请问如何判断其为非正定矩阵？
是不是特征值不全都大于零？
求解！详细说明！
非常感谢！

Answer 1

如果矩阵A存在某个特征值不大于零；

或者存在某个r阶主子式不大于零。

Answer 2

判断一个矩阵是否为正定矩阵有两种方法：
1、求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。
2、计算A的各阶主子式。若A的各阶主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。半正定矩阵的特点：
1、半正定矩阵的行列式是非负的；两个半正定矩阵的和是半正定的；非负实数与半正定矩阵的数乘矩阵是半正定的。
2、设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列向量x有xTAx≥0x有xTAx≥0，就称A为半正定矩阵。