所有整数和[0,1]区间的所有实数一样多么

Question

能找到直接的对应关系么？
毕竟傅里叶级数是是一个从[0,1]^R到Z^R的一一映射啊。。。

Answer 1

理论上不可能有一一对应关系，因为整数集可一一列举，[0,1]上的实数不可一一列举（最后证明）。
让二者建立一一映射就意味着，一个整数对唯一一个[0,1]上的实数，[0,1]上的实数可以像整数的方法列举，与[0,1]上的实数不可一一列举的事实矛盾。所以不可能。

以下附上[0,1]上的实数不可一一列举的证明

其实只要证明(0,1]区间的实数集是不可列的。如果它是可列的，说明其中所有的实数均可排列成一数列t1,t2,...,tn,...，只有这样，它才能对等于自然数集。好，这时我们将(0,1]中的实数用十进制的无限小数表示：
　　t1=0.t11t12t13...t1n...
　　t2=0.t21t22t23...t2n...
　　...
　　tm=0.tm1tm2tm3...tmn...
　　其中所有的tij都是0～9这十个数字中的某一个。
但是我们可以构造一个小数a=0.a1a2a3...ak...，任意的ai也都是0～9这十个数字中的某一个，但我们让每个ai都不等于上述实数列中的tii，也就是让第i位的数字跟数列中第i行第i个数字不同。这是可行的，因为我们用的是十进制小数，还剩下9个不同数字可供选择呢。当我们构造好了这样的一个小数之后，我们发现它实际上跟上述小数列中的任何一个都不相等。这就造成了逻辑上的矛盾，你说已经把所有小数都列出来了，但是我却发现至少我构造的这个小数，你还没有罗列出来。就算你亡羊补牢，把我这个也补充进去，但是我还是可以根据同样规则又构造出另一个。所以，只能说明实数是无法跟可列集形成一一对应的，也就是前面的假设是错误的。

Answer 2

这肯定是不能一样多的。
整数是可数集而[0，1]区间的所有实数是不可数集。
你那[0，1]^R和Z^R确实是等势的，但它和实数是不同一等级的无穷，它的无穷要比实数大一级。
阿列夫零^阿列夫一=(阿列夫零^阿列夫零)^阿列夫一=阿列夫一^阿列夫一
所以[0,1]^R与Z^R等势。不可数无穷除以可数无穷还是不可数无穷。当然，与｛0，1｝^R和2^2^N(自然数集)都是等势的。其中势都是阿列夫二。