如图，等边三角形OAB的边长为8根号3，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p＞0）上。

Question

（1）求抛物线E的方程；（2）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相交于点Q。证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点。

请附上解题过程，O(∩_∩)O谢谢

Answer 1

解：（1）点B的坐标为（4√3,12),代入插线方程得2p=4所以，插线方程为x²=4y；
（2）设P（x0，y0)则
PQ的方程为：y-(1/4)x0²=(1/2)x0(x-x0)，即y=(1/2)x0x-(1/4)x0²，
所以Q((x0²-4)/(2x0),-1)
以PQ为直径的圆：(x-x0)[x-(x0²-4)/(2x0)]+(y-y0)(y+1)=0
x=0代入得y=1,因此，以PQ为直径的圆过定点(0,1)追问

这个怎么来的

追答

是根据直线的点斜式方程得的，其中斜率由导数直接得出。当然，也可以设点斜式方程与抛物线方程联立由判别式等于0求斜率。