此题不知是初二，还是初三，还是高中题目，本人就用三种方法解：
设直角△ABC中，C=90°，A=22.5°，B=67.5°，AC=10cm，CD是斜边AB的高，按照此题意思，是求CD和AB的长，本人为了解答说明方便，就这样设题目。
高中解法：求出tan22.5°的值，进而解三角形即可。解法如下：
由2倍角公式tan2α=2tanα/(1-tan²α)，得tan45°=2tan22.5°/(1-tan²22.5°)=1，整理得
tan²22.5°+2tan22.5°-1=0，解得tan22.5°=√2-1（另外一个负值舍去）
所以BC=ACtan22.5°=10(√2-1)，AB=√(BC²+AC²)=10√(4-2√2)，这是一个二重根号的数。
由S(△ABC)面积公式，得0.5·AC·BC=0.5·CD·AB，解得CD=AC·BC/AB=10(√2-1)/√(4-2√2)。
初中解法：用几何方法求出比值，之后求解三角形，解法如下：
以AB为底边，作等腰直角三角形ABD，其中点D和点C在直线AB同侧。设BD与AC交于点E，过点E作AB垂线EF，垂足为F（自己画好图再看下面分析），则有∠DAC=∠CAB=22.5°，所以有DE=EF，AF=PA，注意到△EFB是等腰直角三角形，所以有EF=BF，设EF=PE=FB=a，则BE=√2a，AF=PA=PB=PE+EB=(√2+1)a，所以EF/AF=a/(√2+1)a=√2-1。
如果你上初二，可以用三角形相似解法求解，证明Rt△ABC∽Rt△AEF，得到BC/AC=EF/AF，
解得BC=AC·EF/AF=10(√2-1)，AB=√(BC²+AC²)=10√(4-2√2)，这是一个二重根号的数。
由S(△ABC)面积公式，得0.5·AC·BC=0.5·CD·AB，解得CD=AC·BC/AB=10(√2-1)/√(4-2√2)。
如果你上初三，则求出EF/AF=tan∠CAB=tan22.5°后，得BC=ACtan22.5°=10(√2-1)，AB=√(BC²+AC²)=10√(4-2√2)，这是一个二重根号的数。
由S(△ABC)面积公式，得0.5·AC·BC=0.5·CD·AB，解得CD=AC·BC/AB=10(√2-1)/√(4-2√2)。
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