线性代数

Question

设A满足A2次方-2A-4E=0,证明A+E于A-3E都可逆,且互为逆矩阵,,,,,,请高手帮忙 另外问一下 若证明一个矩阵可逆要满足怎样的条件才行...谢谢

Answer 1

首先，一个矩阵可逆，当且仅当其行列式非0。

由已知得 A^2-2A-3E=E ，
即 (A+E)(A-3E)=E ，
所以 |A+E|*|A-3E|=1 ，
由此得，A+E、A-3E 均可逆，且它们互逆。追问

另外问一下 若证明一个矩阵可逆要满足怎样的条件才行...谢谢 只要证明他不等于0就能说明可逆吗

追答

嗯，是的，只要证明它的行列式不等于0，就可以说它可逆。

还有，如果 A*B=E 为单位矩阵，则 A、B 均可逆，且 A^-1=B ，B^-1=A 。这是可逆的定义。

Answer 2

证明A可逆就是存在矩阵B有AB=E

这个题目是标准题型

0=A^2-2A-4E=(A+E)(A-3E)-E
故(A+E)(A-3E)=E
故A+E于A-3E都可逆

对于A+kE来说
0=A^2-2A-4E=(A+kE)[A+(-k-2)E]+k(k+2)E-4E=(A+kE)[A+(-k-2)E]+(k^2+2k-4)E
若k^2+2k-4=0,（当然取整数时不可能，这里是一般性分析，假设如果可以的话）
那么(A+kE)和[A+(-k-2)E]中至少有一个不可逆
若k^2+2k-4不等于零，则(A+kE)可逆，其逆元为[(k^2+2k-4)^(-1)][A+(-k-2)E]追问

另外问一下 若证明一个矩阵可逆要满足怎样的条件才行...谢谢 只要证明他不等于0就能说明可逆吗

追答

n阶矩阵A可逆的充要条件
1、其行列式不等于零
2、秩等于n
3、其行梯型的非零行有n行
4、等价于单位矩阵
5、存在B，有AB=E或BA=E，此时B为A的逆
。。。。。等等

Answer 3

A²-2A-4E=0
所以A²-2A-3E=E
即(A+E)(A-3E)=E
(A-3E)(A+3E)=E
所以A+E于A-3E都可逆,且互为逆矩阵