设A为3阶实对称矩阵,A的全部特征值为0,1,1,则齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系所含解向量的个数为( )

Question

如题所述

Answer 1

设A为3阶实对称矩阵,A的全部特征值为0,1,1,则齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系所含解向量的个数为2。

A为3阶实对称矩阵，所以A可对角化，并且A有2个属于特征值1的线性无关的特征向量，基础解系所含解向量的个数为2；方程组的任意解均可由基础解系线性表出，即方程组的所有解都可以用基础解系的量来表示。

扩展资料：

基础解系需要满足三个条件：

1、基础解系中所有量均是方程组的解；

2、基础解系线性无关，即基础解系中任何一个量都不能被其余向量线性表示；

3、方程组的任意解均可由基础解系线性表出，即方程组的所有解都可以用基础解系来表示。

Answer 2

实对称矩阵特征值的重数 等于 对应线性无关特征向量的个数

所以 填 (2)追问

赞！回答的太速度了。“实对称矩阵特征值的重数 等于 对应线性无关特征向量的个数”对于这句话不太懂。N个特征值不是可以确定N个线性无关的特征向量吗，特征值有一重根，故线性无关的特征向量有n-1=2个，这是我的理解，不知对不对？

来自：求助得到的回答

Answer 3

E-A的秩为1。未知数为三个，解向量个数为未知数个数减去矩阵的秩，所以为2。追问

感谢你的回复，A是实“对称”矩阵！E-A的秩一定为“1!

Answer 4

A为3阶实对称矩阵

所以A可对角化
所以A有2个属于特征值1的线性无关的特征向量
基础解系所含解向量的个数为2追问

越来越看不明白了，刚才通过特征值的解释还明白一点..........

追答

刚才特征根的解释是错误的，请忽略
如果没有附加条件（如本题的实对称），特征根的重数和该特征根对应的特征向量的个数是没有必然联系的。
对于是对称矩阵，n重特征值有n个线性无关的特征向量，即有n个线性无关的解使|lamda *E-A|=0
也就是该方程基础解系的向量个数为n

追问

汗了，那答案是2还是3？有点乱了........... 对特征值与特征向量理解的不是很透。此题具体思路是什么

追答

这里答案是2，因为1是2重根
从题目入手(E-A)x=0即AX=X
方程的根即为特征值1对应的特征向量
问题转化为特征值1对应的线性无关的特征向量有几个
根据实对称条件
n重特征值有n个线性无关的特征向量

（这里n=2)
所以答案为2

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