关于数列的一些问题 高数 懂得进

Question

1 什么是非减数列。什么是非增数列？什么是单调数列。在什么情况下这些数列有极限？各举一个例子。
2 什么是子数列？子数列为什么是重要的？子数列有什么用途？举两个例子。
3 什么是无穷数列？这样一个数列收敛的意义是什么。发散的意义呢？举几个例子。
谢。。。

Answer 1

1. 1,1,1,1,1,1,...就是一个非减又非增的数列，1,2,3,4,...就是一个单调递增的数列
单调有界的数列必有极限，例如1,1/2,1/3,...,1/n,...，极限为0
2.子列是从原来的数列中抽取无限多个元素且不改变其原有次序所构成的数列。研究数列性质时有时需要从简单的子列入手会更简单，例如想证明数列发散时只需找到两个不同极限的子列或者一个发散的子列即可，比如{(-1)^n}，奇子列收敛于-1，偶子列收敛于1，但{(-1)^n}发散
3.中学教材里面数列分为有穷和无穷，无穷数列就是元素无限多个。数列收敛就是当数列的项n趋于无穷大的时候数列的一个变化趋势，如果极限存在，那么就说该无穷数列收敛。如果没有极限，那么就是发散的，例子前面1,2中都有提到

Answer 2

第一个问题
（1）非减非增：
-1,2,-3,4,-5,6,……,[(-1)^n]*n,…… (发散)
-1,1/2,-1/3,1/4，……, [(-1)^n]/n,…… (收敛于0)
（2）单调递增：
1,2,3,4,……,n,…… (发散)
-1,-1/2,-1/3,……,-1/n,…… (收敛于0)
（3）单调递减：
-1,-2,-3,-4,……,-n,…… (发散)
1,1/2,1/3,……,1/n,…… (收敛于0)
注：单调有界数列必有极限，非减或非增数列的收敛情况比较复杂。
第二个问题：
子列：若数列{bn}是由数列{an}的一些项按原来的顺序构成的一个新数列，则称数列{bn}是数列{an}的子数列。
子列是数列的部分项组成的，可以反映出数列的一些性质（收敛数列的子列也是收敛的，且有相同的极限，但其逆或否都是不正确的，但其你否很有用处——即若子列不收敛或不同子列收敛与不同数值，则数列发散），但不够全面。因此，仅从子列出发研究数列的性质会比较片面，容易引发错误的结论。如：
等差数列中：下标成等差数列（公差为k）的项仍然成等差数列，新的等差数列的公差等于原等差数列的公差的k倍。
等比数列中：下标成等差数列（公差为k）的项仍然成等比数列，新的等比数列的公比等于k个原等比数列的公比的积。
显然，在这两种前情况下，也可以利用子列得到数列。
另外，数列的奇(偶)列也常常被应用或研究。
第三个问题：
数列，在高等数学中，一般都是指无穷数列。数列的敛散性，是对数列变化趋势的定性与定量描述，但是，无限变大的数列通常被称之为发散的。
至于数列的敛散性及其意义，还请你看看书，有一定基础之后，再问这个问题吧。本回答被提问者采纳